2.5等比数列的前n项和
(第一课时)
1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程．
2.能够应用前n项和公式解决等比数列有关问题．
3.进一步提高解方程(组)的能力，以及整体代换思想的应用能力.
复习:等比数列 {an}
(1) 等比数列:
(2) 通项公式:
(4) 重要性质:
注:以上 m, n, p, q 均为自然数
5、数列中通项与前n项和的关系：
探求等比数列求和的方法
问题：已知等比数列 , 公比为q,
　　　求：
思考：
等比数列的前n项和
说明：这种求和方法称为错位相减法
用等比定理推导
当 q = 1 时 Sn = n a1
合比定理：
Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an
= a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1
= a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
等比数列前n 项和公式
公式２：
公式１：
根据求和公式，运用方程思想， 五个基本量中“知三求二”.
注意对 是否等于 进行分类讨论
例1、求下列等比数列前8项的和
【例2】
解法1：
②
①
③
③代入②得
代入③得：n=5.
解法2
【例2】
例3. 某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10％，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？
答：约5年内可以使总销售量达到30000台。
练习
练习2.
求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
从第5项到第10项的和:
1、求和公式
当q≠1时，
当q=1时，
①注意分类讨论的思想！
等比数列求和时必须弄清q=1还是q≠1.
②运用方程的思想，五个量“知三求二”.
2、公式的推导方法
强调：
（重在过程）
③注意运用整体运算的思想.
等比数列的前n项和（二）
1、求和公式
当q≠1时，
当q=1时，
①注意分类讨论的思想！
等比数列求和时必须弄清q=1还是q≠1.
②运用方程的思想，五个量“知三求二”.
2、公式的推导方法
强调：
（重在过程）
③注意运用整体运算的思想.
63.
例1：已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30.
[题后感悟]　等比数列前n项和的常用性质：
(1)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m

－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的

等比数列，即等比数列的前m项的和与以后依次m项的和构成等比数列．
推导过程:
例1．已知一个等比数列的首项为1，项数为偶数，奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
练习：2、等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求该数列的公比q.
90
例1：求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．
(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
X=0呢？
[题后感悟]　错位相减法
一般来说，如果数列{an}是等差数列，公差为d；数列{bn}是等比数列，公比为q，则求数列{anbn}的前n项和就可以运用错位相减法．
在运用错位相减法求数列的和时，要注意以下四个问题：
(1)注意对q的讨论，在前面的讨论中，我们已知q是等比数列{bn}的公比，所以q≠0，但求和Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1时，就应分x＝0、x＝1和x≠0且x≠1三种情况讨论．
(2)注意相消的规律．
(3)注意相消后式子(1－q)Sn的构成，以及其中成等比数列的一部分的和的项数．
(4)应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这一前提条件．如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查．
例2、已知数列{an}是等差数列，且a1=2, a1+a2+a3=12, (1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn=anxn(x∈R)，求数列{bn}的前n项和的公式。
解：(1)设公差为d, 则3a1+3d=12，d=2, an=2n
(2) bn=2nxn.
(3)在公比为字母参数的等比数列求和时，应分q＝1与q≠1两种情况进行讨论．
A
D
C
C
第三课时
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝30，则S30＝ (　　)
A．70 B．90 C．100 D．120
解析：由于S10，S20－S10，S30－S20成等比数列．
∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，
又∵S10＝10，S20＝30，
∴可得S30＝70.
答案：A
预习测评
A．4 B．5 C．6 D．7
答案：B
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－1，则此数列为 (　　)
A．等差数列 B．等比数列
C．常数数列 D．递减数列
解析：a1＝S1＝31－1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－3n－1＋1＝2·3n－1.所以对任意的正整数n，an＝2×3n－1成立，因此数列为等比数列．
答案：B
4．若等比数列的前n项和Sn＝5n＋m，则m＝
(　　)
A．－1 B．1 C．－5 D．5
解析：a1＝5＋m，当n≥2时，an＝5n－5n－1＝4·5n－1所以5＋m＝4，m＝－1.
答案：A
判断等比数列
【例1】 已知数列{an}的前n项和Sn＝a2n－1(a≠0，±1；n∈N*)，试判断{an}是否为等比数列，为什么？
解：{an}是等比数列，理由如下：
a1＝S1＝a2－1，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(a2n－1)－(a2n－2－1)
＝(a2－1)a2n－2，
此时，n＝1时，a1＝a2－1.
∴数列{an}的通项公式为an＝(a2－1)a2n－2(n∈N*)．
即数列{an}是首项为a2－1，公比为a2的等比数列．
方法点评：将已知条件Sn＝a2n－1与an＝Sn－Sn－1结合起来 ，得到n≥2时的通项公式an＝(a2－1)a2n－2，特别注意的是，n＝1时即a1＝a2－1能否统一到an＝(a2－1)·a2n－2中去，如果能统一起来，则数列{an}为等比数列，否则数列{an}不是等比数列．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
课堂总结