数列
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5.2.1 等差数列的概念
问题 某工厂的仓库里堆放一批钢管，共堆放了 7 层，
　　 试从上到下列出每层钢管的数量.
引入
每层钢管数为 4，5，6，7，8，9，10．
新授
等差数列
　　一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前
一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．
　　这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ．
练习一
抢答：下列数列是否为等差数列？
1，2，4，6，8，10，12，… ①
0，1，2，3，4，5，6，… ②
3，3，3，3，3，3，3，… ③
2，4，7，11，16，… ④
－8，－6，－4，-2 ， 0，2，4，… ⑤
3，0，－3，－6，－9，… ⑥
√
√
√
√
练习二
说出下列等差数列的公差．
0，1，2，3，4，5，6，… ②
3，3，3，3，3，3，3，… ③
-8，-6，-4，-2 ， 0，2，4，… ⑤
3，0，-3，-6，-9，… ⑥
d = 1
d = 0
d = 2
d = -3
常数列
新授
根据等差数列的定义填空
a2 ＝a1＋d，
a3 ＝ ＋d ＝（ ） ＋d ＝a1 ＋ d，
a4 ＝ ＋d ＝（ ） ＋d ＝a1 ＋ d ，
……
an ＝ ＋ d．
a2
a1 + d
2
a3
a1 + 2 d
3
a1
（ n – 1 ）
等差数列的通项公式
例1 求等差数列 8，5，2 ， … 的通项公式和第 20 项．
解 因为 a1＝8，d ＝5－8＝－3，　
所以这个数列的通项公式是
an = 8＋(n－1)×(－3) ，
即　an ＝－3 n＋11．
　所以　a20＝－3×20＋11＝－49.
新授
例2 等差数列－5，－9，－13，… 的第多少项是－401？
解 因为 a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，　
an＝－401，
所以
－401＝－5＋(n－1)×(－4)．
解得 n＝100．
即这个数列的第 100 项是－401．
新授
练习三
（1）求等差数列 3，7，11，… 的第 4，7，10 项；
（2）求等差数列 10，8，6，… 的第 20 项．
练习四
在等差数列{an}中：
（1）d＝－　，a7 ＝8，求 a1 ；
（2）a1 ＝12，a6 ＝27，求 d ．
例3 在 3 与 7 之间插入一个数 A，使 3，A，7 成等差数列．
解 因为 3，A，7 成等差数列，
　　所以A－3 ＝7－A，
2 A ＝3 ＋7．
解得 A＝5．
一般地，如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做
a与 b 的等差中项． A＝
新授
练习五
求下列各组数的等差中项：
（1）732与－136；
新授
例4 已知一个等差数列的第 3 项是 5，第 8 项是 20，
　　求它的第 25 项．
解 因为a 3 ＝5，a 8 ＝20，

根据通项公式得
整理，得

解此方程组，得 a1＝－1，d ＝3．
所以　a25 ＝－1＋(25－1)×3＝71.
a1 ＋(3－1)d ＝5
a1 ＋(8－1)d ＝20
a1 ＋2 d ＝5
a1 ＋7 d ＝20
练习六
（1）已知等差数列{an }中，a1 = 3，an = 21，d = 2，
　　 求 n ．
（2）已知等差数列{an }中，a4 = 10，a5 = 6，
　　 求 a8 和 d ．
新授
例 5 梯子的最高一级是 33 cm，最低一级是 89 cm，
　　 中间还有 7 级，各级的宽度成等差数列．
　　 求中间各级的宽度．
解 用{an }表示题中的等差数列．
　 已知a1= 33，an = 89，n = 9，
　 则a9 = 33+（9－1）d ，即 89 = 33 + 8d，
解得 d = 7．
　 于是 a2 = 33 + 7 = 40，
a3 = 40 + 7 = 47，a4 = 47 + 7 = 54， a5 = 54 + 7 = 61，
a6 = 61 + 7 = 68，a7 = 68 + 7 = 75，a8 = 75 + 7 = 82．
　　即梯子中间各级的宽从上到下依次是
40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm．
新授
例6 已知一个直角三角形的三条边的长度成等差数列．
　　 求证：它们的比是 3∶4∶5．
证明　设这个直角三角形的三边长分别为
a－d，a，a＋d．
　　根据勾股定理，得
(a－d)2 ＋a2 ＝(a＋d)2．
解得　a = 4 d ．
　　于是这个直角三角形的三边长是 3 d，4 d，5 d，
即这个直角三角形的三边长的比是 3∶4∶5．
1．等差数列的定义及通项公式．
2. 等差中项的定义及公式．
3．等差数列定义、通项公式和中项公式的应用．
归纳小结
课后作业
教材 P 99，习题第 1，2，3 题．