两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1. 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、
正切公式．
3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、
余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式，了解它们的内在联系．
一、两角和与差的三角函数公式
sin(α±β)＝ ；
cos(α±β)＝ ；
tan(α±β)＝ .
cosαcosβ∓sinαsinβ
sinαcosβ±cosαsinβ
[理要点]
其公式变形为：
tanα＋tanβ＝ ；
tanα－tanβ＝ ；
tanαtanβ＝ .
tan(α＋β)(1－tanαtanβ)
tan(α－β)(1＋tanαtanβ)
二、二倍角公式
sin2α＝ ；
cos2α＝ ＝ ＝ ；
tan2α＝ .
其公式变形为：
sin2α＝ ；
cos2α＝ .
2sinαcosα
cos2α－sin2α
2cos2α－1
1－2sin2α
[究 疑 点]
1．两角和与差的正切公式对任意角都适用吗？若出现不
适用的情况如何化简？
2．你能用tanα来表示sin2α，cos2α吗？
本题条件不变，求α＋β的值．
[归纳领悟]
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.
答案：B
答案： A
答案：B
[归纳领悟]
(1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准
确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
(2)应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，
但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用.
答案：D
答案：C
[归纳领悟]
1．当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“
已知角”的和或差的形式；
2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“
已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求
角”变成“已知角”．
一、把脉考情
从近两年的高考试题来看，和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度中低档，属于送分题，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．
预测2012年高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点，重点考查这两类公式在三角函数式求值与化简中的计算能力．
答案：A
解：(1)①如图，在直角坐标系xOy内
作单位圆O，并作出角α，β与－β，
使α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终
边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，
终边交⊙O于点P3，角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4，
则P1(1,0)，P2(cos α，sin α)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，
P4(cos(－β)，sin(－β))．
由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得
[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos (－β)－cos α]2＋[sin
(－β)－sin α]2，
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得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcosβ－sin αsin β)．
∴cos(α＋β)＝cos αcosβ－sin αsinβ.