3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切》
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教学目标
理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.
在研究三角函数时，我们还常常遇到这样
的问题：已知任意角α、β的三角函数值，
如何求α+β、 α–β或 2α的三角函数值？
下面我们先引出平面内两点间的距离公式，
并从两角和的余弦公式谈起.
在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2),
.
.
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)
M1(x1, 0)
M2(x2, 0)
N1(0, y1)
N2(0, y2)
Q
P1Q=M1M2=┃x1–x2┃，QP2=N1N2=┃y1–y2┃，
由勾股定理，可得
P1P22=P1Q2+QP22
=(x1–x2)2+(y1–y2)2,
=┃x1–x2┃2+┃y1–y2┃2
由此得到平面内
P1(x1, y1), P2(x2, y2)
两点间距离公式：
P1P2=
∟
∟
∟
∟
∟
接下来，我们继续考虑如何运用两点间
的距离公式，把两角和的余弦cos(α+β)用
α、β的三角函数来表示的问题.
如图，在直角坐标
平面xOy内作单位圆O,
并作出角α、β和–β，
α
P1
P2
P3
P4
β
–β
α+β
P1(1, 0),
各点坐标：
P2(cosα, sinα),
P3(cos(α+β), sin(α+β)),
P4(cos(–β), sin(–β)),
α
P1
P2
P3
P4
β
–β
α+β
P1(1, 0),
各点坐标：
P2(cosα, sinα),
P3(cos(α+β), sin(α+β)),
P4(cos(–β), sin(–β)),
由P1P3＝P2P4及两点间距离公式，得
[cos(α+β)–1]2+sin2(α+β)
=[cos(–β)–cosα]2
+[sin(–β)–sinα]2,
[cos(α+β)–1]2+sin2(α+β)
=[cos(–β)–cosα]2
+[sin(–β)–sinα]2,
cos2(α+β)–2cos(α+β)+1+sin2(α+β)
=cos2β–2cosα cosβ+ cos2α
+ sin2α+2sinα sinβ+ sin2β，
2–2cos(α+β)
=2–2cosα cosβ
+2sinα sinβ，
∴ cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ，
（C（α+β））
cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ
（C（α+β））
这个公式对于任意角α、β都成立.
例如　cos(62°
＝cos62°
–
cos59°
+59°)
sin62°
sin59°;
cos(113°
＝cos113°
–
cos27°
+27°)
sin113°
sin27°;
cos[α
＝cosα
–
cos(–β)
+(–β)]
sinα
sin(–β)，
cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ.
（C（α+β））
cos[α
＝cosα
–
cos(–β)
+(–β)]
sinα
sin(–β)，
cosβ
cos(α
＝cosα
+
–β)
sinα
sinβ.
（C（α–β））
例如 cos(113°
＝cos113°
+
cos27°
–27°)
sin113°
sin27°;
cos(113°
＝cos113°
+
cos27°
+27°)
sin113°
sin27°;
cosβ
cos(α
＝cosα
+
–β)
sinα
sinβ.
（C（α–β））
+
cosα
–α)
sinα
=sinα，
即
=sinα，
即
–α)
cos(
π
2
=sinα，
π
2
这里，等号两边的角的和为　，
α
cos
π
2
=sin( –α)，
∴
这就是说，诱导公式
当α为任意角时仍然成立.
–α)
cos(
π
2
=sinα，
cosα,
π
2
sin( –α)＝
cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ.
运用上述公式，得
sin(α+β)=
=sinαcosβ
+cosαsinβ,
即　 sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ,
sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ,
（S（α+β））
在上式中用–β代替β，得
sin(α–β)=sinαcosβ –cosαsinβ,
（S（α–β））
当　cos(α+β)≠0　时，有
tan (α+β)=
若 cos αcosβ≠0，得
tan (α+β)=
（T（α+β））
∵ tan (–β)=
= –tanβ，
（T（α–β））
公式S（α+β）、 C（α+β）、 T（α+β）给出
了任意角α、β的三角函数值(这里指正弦、
余弦或正切)与其和角α+β的三角函数值之
间的关系. 为方便起见，我们把这三个公式
都叫作和角公式.
（T（α+β））
∵ tan (–β)=
= –tanβ，
（T（α–β））
类似地，公式S（α–β）、 C（α–β）、
T（α–β）都叫作差角公式.
sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ,
（S（α+β））
sin(α–β)=sinαcosβ –cosαsinβ,
（S（α–β））
cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ，
（C（α+β））
cos(α–β)= cosα cosβ +sinα sinβ，
（C（α–β））
等号右边“±”的记忆方式：
在锐角范围内，正弦函数是增函数，
　　　　　　　余弦函数是减函数，
∴
sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ,
（S（α+β））
cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ，
（C（α+β））
记忆方式：
α
P
Q
β
M
N
E
F
α
sin(α+β)
=QM
=ONsinα+QNcosα
= sinαcosβ + cosαsinβ;
cos(α+β)
=OM
=ONcosα– QNsinα
= cosαcosβ – sinαsinβ.
=NE+QF
=OE–FN
∟
∟
∟
∟
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、
　　 余弦和正切的值.
解：
sin75°=sin(
45°+30°)
=sin45°cos30°
+cos45°sin30°
cos75°=cos(
45°+30°)
=cos45°cos30°
–sin45°sin30°
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、
　　 余弦和正切的值.
tan75°=
或　tan75°=tan(
45°+30°)
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、
　　 余弦和正切的值.
sin15°=cos75°
或　sin15°=sin(
45°–30°)
=sin45°cos30°
–cos45°sin30°
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、
　　 余弦和正切的值.
cos15°=sin75°
或　cos75°=cos(
45°–30°)
=cos45°cos30°
+sin45°sin30°
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、
　　 余弦和正切的值.
tan15°=
或　tan15°=tan(
45°–30°)
例2、已知 sinα= ，α∈( , π)，
3
4
π
2
cosβ= – , β∈(π， ),
3π
2
求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).
解：
2
3
∴ cosα=
∴ sinβ=
例2、已知 sinα= ，α∈( , π)，
3
4
π
2
cosβ= – , β∈(π， ),
3π
2
求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).
2
3
∴　sin(α–β)
=sinαcosβ
+cosαsinβ
例2、已知 sinα= ，α∈( , π)，
3
4
π
2
cosβ= – , β∈(π， ),
3π
2
求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).
2
3
cos(α+β)
=cosαcosβ
–sinαsinβ
例2、已知 sinα= ，α∈( , π)，
3
4
π
2
cosβ= – , β∈(π， ),
3π
2
求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).
2
3
sin(α+β)
=sinαcosβ
+cosαsinβ
∴ tan (α+β)=
例3、利用和角公式求　　　　　的值.
解：
=tan(45°+15°)
=tan60°
例3′、△ABC中，
　　　 求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
证明：
∴ tanA+tanB=
∵tanA、tanB、tanC　都有意义，
∴△ABC中没有直角，
∵ tan(A+B)=
=tan(180°–C)–tanAtanBtan(180°–C)
= –tanC+tanAtanBtanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
tan(A+B)–tanAtanBtan(A+B)
∴tanAtanB≠1.
本课小结：
在这节课中，我们研究了两个角的
和与差的正弦、余弦和正切公式，这些
公式在今后有大量的应用，应熟练地、灵活地掌握。
(例3就是反过来用公式的例子).
再见