2.5 平面向量应用举例

2.5.1 平面几何中的向量方法
1.能运用向量的知识解决一些简单的平面解析几何问题;
2.利用数量积解决长度、角度、垂直等问题;
3.建立直角坐标系利用向量坐标运算解决长度、角度、垂直等问题.(重点、难点）
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用.
1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？
对角线长度的平方=两邻边的平方和.
平行四边形有类似的数量关系吗？
探究一（长度问题）
思考1 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2，
AD=1，BD=2，那么对角线AC的长是否确定？
确定
思考2:在平行四边形ABCD中，设向量 则
向量 等于什么？向量 等于什么？
例1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，
如图2.5-1， 你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系吗？
A
图2.5-1
注意这种求模的方法
平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.
如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素.
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
提升总结
例2.如图2.5-2，□ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、 RT、TC之间的关系吗？
A
B
D
E
F
R
T
C
猜想：AR=RT=TC
图2.5-2
由于 与 共线，故设
因为
利用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基本定理，将问题转化为求m、n的值，是处理线段长度关系的一种常用手段.
提升总结
例3.若正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求
A
B
C
O
解：以O为坐标原点，以OA、OC所在的直线为坐标轴建立如图所示的直角坐标系，
分析：建立坐标系，利用向量的坐标运算求夹角.
探究二（角度问题）
E
D
建立适当的坐标系，利用向量运算的坐标形式，可使解题思路明确，过程简洁.
提升总结
A
3.如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点.
求证∠ACB=90°.
证明：设
则 由此可得：
即 ，∴∠ACB=90°.
（r是圆的半径）.
1.用向量方法证明几何问题时,首先选取恰当的基底,用来表示待研究的向量,在此基础上进行运算,进而解决问题.
2.要掌握向量的常用知识①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等.
一年之计，莫如树谷：十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。长才靡入用，大厦失巨楹。 ——邵谒