2.5 平面向量应用举例
2.5.1 平面几何中的向量方法
问题提出
1.用有向线段表示向量，使得向量可以进行线性运算和数量积运算，并具有鲜明的几何背景，从而沟通了平面向量与平面几何的内在联系，在某种条件下，平面向量与平面几何可以相互转化.
2.平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几何中常见的问题，而这些问题都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此，平面几何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决问题的数学思想、方法和技能，需要我们在实践中去探究、领会和总结.
平面几何中
的向量方法
探究（一）：推断线段长度关系
思考3：AB=2，AD=1，BD=2，用向量语言怎样表述？
|a|=2，|b|=1，|a-b|=2.
思考6：根据上述思路，你能推断平行四边形两条对角线的长度与两条邻边的长度之间具有什么关系吗？
平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.
思考7：如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？
探究（二）：推断直线位置关系
思考1：三角形的三条高线具有什么位置关系？
交于一点
证明PC⊥AB.
c·(a－b)＝0.
思考4：对于PA⊥BC，PB⊥AC，用向量观点可分别转化为什么结论？
a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0.
思考5：如何利用这两个结论: a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0 推出c·(a－b)＝0？
探究（三）：计算夹角的大小
三角形.gsp
思考4：将CD⊥BE转化为向量运算可得什么结论？
理论迁移
例1 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC的中点，BE、BF分别与AC相交于点M、N，试推断AM、MN、NC的长度具有什么关系，并证明你的结论.
结论:AM=MN=NC
三等分.gsp
例2 如图，△ABC的三条高分别为AD，BE，CF，作DG⊥BE，DH⊥CF，垂足分别为G、H，试推断EF与GH是否平行.
结论:EF∥GH
小结作业
2.用向量方法研究几何问题，需要用向量的观点看问题，将几何问题化归为向量问题来解决.它既是一种数学思想，也是一种数学能力.其中合理设置向量，并建立向量关系，是解决问题的关键.
作业：
P113习题2.5A组：1，2.
B组：3.