2.5.1平面几何中的向量的方法
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
猜想：
1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
例1 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型
分析
涉及长度问题常常考虑向量的数量积
解
①+②
平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍
变式1、证明平行四边形两对角线互相平分
M
用向量法解平面几何问题的基本思路
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
例2 如图,连接□ABCD的一个顶点至AD、DC边的中点E、F,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
分析:
由于AR,RT,TC在AC上,
只要判断AR,RT,TC与AC的关系
解：第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
又因为
解得
第三步：把运算结果“翻译”成几何元素。
AR=RT=TC
平面几何简单定理
（1）三角形中位线定理
（2）勾股定理
（3）圆周角定理
证明直径所对的圆周角是直角
利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题
2.5.2向量在物理中的应用
你能从数学的角度解释这种现象吗？
（1） θ为何值时， |F1|最小，最小值是多少？
（2） |F1|能等于|G|吗？为什么？
思考与探究：
例4
思考题:已知船在静水中的速度是3km/h,它要横渡30m的河流,已知水流的速度是4km/h,思考:
1.这只船可以沿着垂直于河岸的航线到达正对岸吗?
分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短，考虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸，如图
（1）行驶航程最短,是否就是航程时间最短呢?
思考与探究：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
物理问题
(实际问题）
向量问题
(数学模型)
数学问题
的解决
解释和验证相关物理现象
课本习题2.5A组 第2题
作业