2.5 平面向量应用举例

2.5.1 平面几何中的向量方法
1.能运用向量的知识解决一些简单的平面解析几何问题;
2.利用数量积解决长度、角度、垂直等问题;
3.建立直角坐标系利用向量坐标运算解决长度、角度、垂直等问题.
用有向线段表示向量，使得向量可以进行线性运算和数量积运算，并具有鲜明的几何背景，从而沟通了平面向量与平面几何的内在联系 ，在某种条件下 ，平面向量与平面几何可以相互转化.
1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？
对角线长度的平方=两邻边的平方和
平行四边形有类似的数量关系吗？
探究一（长度问题）
思考1 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2，
AD=1，BD=2，那么对角线AC的长是否确定？
确定
思考2 设向量 则向量 等于什么？
向量 等于什么？
例1 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，
如图， 平行四边形对角线的长
度与两条邻边长度之间有何关系？
A
平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.
如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素.
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
提升总结
例2 如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD 、DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
猜想：AR=RT=TC
由于 与 共线，故设
因为
利用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基本定理，将问题转化为求m、n的值，是处理线段长度关系的一种常用手段.
提升总结
例3 若正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求
A
B
C
O
解：以O为坐标原点，以OA、OC所在的直线为坐标轴建立如图所示的直角坐标系，
分析：建立坐标系，利用向量的坐标运算求夹角.
探究二（角度问题）
E
D
建立适当的坐标系，利用向量运算的坐标形式，可使的思路明确，过程简洁.
提升总结
3.如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点.
求证∠ACB=90°.
证明：设
则 由此可得：
即 ，∠ACB=90°.
1.向量解决几何问题；
2.利用向量运算解决几何长度、角度、垂直问题.