平面向量应用举例
用向量的方法研究平面几何
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
猜想：
1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
变式1、证明平行四边形两对角线互相平分
M
用向量法解平面几何问题的基本思路
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
猜想：
AR=RT=TC
解：设 则
故 AT=RT=TC
证明直径所对的圆周角是直角
向量在物理中的应用
你能从数学的角度解释这种现象吗？
（1） θ为何值时， |F1|最小，最小值是多少？
（2） |F1|能等于|G|吗？为什么？
思考与探究：
例2
思考题:已知船在静水中的速度是3km/h,它要横渡30m的河流,已知水流的速度是4km/h,思考:
1.这只船可以沿着垂直于河岸的航线到达正对岸吗?
分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短，考虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸，如图
（1）行驶航程最短,是否就是航程时间最短呢?
思考与探究：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
物理问题
(实际问题）
向量问题
(数学模型)
数学问题
的解决
解释和验证相关物理现象