考点一
2.4.2

平面向量数量积的坐标表示
、模、
夹角
NO.1课堂强化
名师课堂·一点通
考点三
课前预习·巧设计
创新演练·大冲关
第二章

平面向量
考点二
读教材·填要点
小问题·大思维
解题高手
NO.2课下检测
2.4

平
面
向
量
的
数
量
积
[读教材·填要点]
1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
对应坐标的乘积
x1x2＋y1y2
x1x2＋y1y2＝0
2．三个重要公式
[小问题·大思维]
1．已知向量a＝(x，y)，与向量a共线的单位向量a0的坐标是什么？
2．向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则向量a在向量b方向上的投影怎样用a，b的坐标表示？
[研一题]
[例1]　已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)，求：
(1)2a·(b－a)；
(2)(a＋2b)·c.
[自主解答]　法一：(1)∵2a＝2(1,3)＝(2,6)，
b－a＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)，
∴2a·(b－a)＝(2,6)·(1,2)
＝2×1＋6×2＝14.
(2)∵a＋2b＝(1,3)＋2(2,5)
＝(1,3)＋(4,10)＝(5,13)，
∴(a＋2b)·c＝(5,13)·(2,1)
＝5×2＋13×1＝23.
法二：(1)2a·(b－a)
＝2a·b－2a2
＝2(1×2＋3×5)－2(1＋9)
＝14.
(2)(a＋2b)·c
＝a·c＋2b·c
＝1×2＋3×1＋2(2×2＋5×1)
＝23.
本例条件中“c＝(2,1)”若变为“c＝(2，k)”，且“(a－c)⊥b”，求k.
[悟一法]
1．通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系．
2．向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充．
[通一类]
1．若向量a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，求向量b.
[研一题]
[悟一法]
[通一类]
答案：C
[研一题]
[悟一法]
利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化．因此判定方法更加简捷、运算更直接，体现了向量问题代数化的思想．
[通一类]
3．设a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，
求m的值．
解：法一：∵a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)，
又(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，
即(m＋2，m－4)·(m，－m－2)＝0.
∴m2＋2m－m2＋2m＋8＝0.∴m＝－2.
法二：∵(a＋b)⊥(a－b)，
∴(a＋b)·(a－b)＝0，a2＝b2，
则m2＋2m＋10＝2＋m2－2m，解得m＝－2.
[点评]　解决向量数量积的坐标运算的问题，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式，同时要熟练运用方程思想，如本题解法一体现了这一方法；解法二是巧妙地利用了几何意义，数形结合，可简化运算．