2.4　平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模 、夹角
平 面 向 量
1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．
2．掌握向量垂直的坐标表示及夹角的坐标表示及平面两点间的距离公式．
基础梳理
一、平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a＝(x1，y1) ，b＝(x2，y2)，a·b＝__________(坐标形式)．这就是说：(文字语言)两个向量的数量积等于____________．
练习1：a＝(2,3)，b＝(－2,4)，则(a＋b)·(a－b)＝______.
一、1.x1x2＋y1y2　它们对应坐标的乘积的和
练习1：－7
思考应用
1．平面向量数量积用坐标表示的基础和意义是怎样的？
解析：数量积的坐标表示的基础是：向量的坐标表示和数量积的运算律．设i、j分别是和x轴、y轴同向的单位向量，则i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1i·j＋y1y2j2
＝x1x2＋y1y2.
数量积坐标表示的意义在于能使数量积的计算代数化，为用向量来处理几何问题，特别是解析几何问题提供了便利条件．
思考应用
2．怎样求向量的投影？试求向量a＝(1,2)在向量b＝(2，－2)方向上的投影．
分析：本题考查向量的数量积的几何意义．要求向量的投影，需先求两向量的夹角，而这可根据数量积的性质求得．
自测自评
4．已知向量a，b满足 (a＋2b) ·(a－b)＝－6，且 |a|＝1，|b|＝2 ，则a与b的夹角为________．
向量数量积、模及夹角的坐标运算
分析：用向量的数量积、模及夹角的坐标运算．
点评： 求(a+2b) ·(a-b)的值时，解法一用向量的坐标法，先分别求出(a+2b) 与(a-b) 的坐标，再用数量积公式求解，解法二直接用向量运算律进行运算．
跟踪训练
1．已知向量a＝(4,3)，b＝(-2,1)，
(1)求向量a＋b与a－b的夹角θ；
(2)若向量a－λb与2a＋b垂直，求λ的值．
分析：先把向量a＋b与a－b用坐标表示出来，然后再根据夹角公式求解．
根据向量间的关系求向量的坐标
已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求向量a的坐标；
(2)若c＝(2,-1)，求a(b·c)及(a·b)c.
分析：设向量a的坐标为，根据等量关系列方程组求解．
分析：设向量b的坐标为(x,y)，根据等量关系列方程组求解．
跟踪训练
向量的综合应用
设 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β， sin β)(0<α<β<π)．
(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)；
用k表示数量积a·b.
分析：题目给出了向量的坐标，可以考虑坐标法解决问题，但实际上向量法会显得更简单明了．
解析：(1) 证明：∵a＝(cos α，sin α)， b＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)，
(2)
跟踪训练
3．如下图所示，以原点O和A(5,2)为两个顶点作等腰直角△AOB，使∠B＝90°，求点B的坐标．
2．已知a＝ (2,-2)，b＝ (-1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　 　)
D
A
1．注意向量的坐标运算与向量运算的区别与联系．
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．
祝
您
学业有成