平面向量的数量积的物理背景
及其含义
向量的夹角

复习回顾
问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？
两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；
平面向量的数量积的定义
说明：
问题3：向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的结果有什么不同？
实数同向量积的线性运算的结果是向量
两向量的数量积是一个实数，是一个数量
问题4：影响数量积大小的因素有哪些？
这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。
正
负
0
数量积符号由cos的符号所决定
平面向量的数量积的运算性质
问题5：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
问题6：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
问题7：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？
︱a·b︱≤︱a︱︱b︱
问题8：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
（３）a · b ≤| a | · | b |.
（１）a⊥b 　　a · b=0 .
(判断两向量垂直的依据)
特别地，
（２）当a与b同向时，a·b ＝ | a | · | b |；
当a与b反向时，a·b＝ －| a | · | b |.
（４）
平面向量的数量积的运算性质
设向量a、b为两非零向量，e是与b同向的单位向量：
练习:
平面向量数量积的几何意义
投影一定是正数吗？
说明：
（2）投影也是一个数量，不是向量。
（1）
练一练：
类比实数的乘法运算律：
数量积的运算律：
关于向量的数量积运算：
平面向量的数量积运算律
数量积运算不满足乘法结合律。
问题９: 我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些 运算律对向量是否也适用？
如图可知：
判断下列命题或等式的正确与否
若b ≠ 0 ，a b = 0，则a=0
若a b = b c ， (b ≠ 0 )，则a=c
（a b）c=a（b c）
错误
错误
错误
利用平面向量数量积求解长度问题
利用平面向量数量积求解夹角问题
一.辨　析
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0．
3．若a ≠0，a · b =0，则b=0.
4．若a · b=0，则a,b中至少有一个为0．
√
×
×
×
√
５. 对任意向量 a 有　　　　.(a · a 常记作a2)
×
练习:
小　结
1. 向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.
2. 实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非.
3. 常用︱a︱＝ 求向量的模.
　　　
　常用　　　　　　求向量的夹角.
2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义