2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
复习实数与向量积
θ=180°
θ =90°
回顾向量夹角的定义
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）叫做向量a与b的夹角。
θ=0°
特殊情况
O
B
A
θ
找向量夹角必须保证向量有相同的起点
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
θ
S
力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
新课引入
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
θ
S
力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
新课引入
在问题中，功是一个标量，它由力和位移两个向量确定。这启示我们，能否把功看成是这两个向量的一种运算结果呢？
规定:零向量与任一向量的数量积为数0。
数量积(向量的乘法)定义：
说明：
(1)两向量相乘(数量积)结果是一个数量，而不是向量，
符号由夹角决定,怎么决定？
(2)a · b不能写成a×b
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b.

a·b=|a| |b| cosθ，
| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影．
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
θ为钝角时，
| b | cosθ＜0
θ为直角时，
| b | cosθ=0
数量积的几何意义
数量积a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。
数量积的重要性质:
说明：“向量方等于向量模方”是向量和向量模相互转化的重要依据，今后常用。
平面向量数量积的运算律
注意：数量积运算不满足结合律
1．若a=0，则对任一向量b ，有a · b=0
2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a · b≠0
3.若a≠0，a · b=0,则b=0
4.若a · b=0,则a · b中至少有一个为0
5.若b≠0，a · b= b · c,则a=c
6.若a · b= a · c ,则b≠c,当且仅当a=0时成立
7.对任意向量a , b ,c,有(a · b)·c≠a ·(b · c)
8.对任一向量a,有a2=|a|2
练习：判断正误
( √ ）
( × ）
( × ）
( × ）
( × ）
( × ）
( × ）
( √ ）
平面向量的数量积及运算律
例2. 求证：（1）
（2）
证明：（1）
（2）
向量满足完全平方公式、平方差公式
例4.已知
与 的夹角为60°，
求：（1） 在 方向上的投影；
（2） 在 方向上的投影；
（3）
=2
=3
当且仅当　为何值时，　　　与　　　　互相垂直？
课堂小结
4. 运算律
课堂练习:
钝角
–2
C