2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
1.平面向量的坐标运算：
复习回顾:
注:向量坐标等于终点坐标减去起点坐标.
2.向量平行(共线)条件的两种形式:
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）叫做向量a与b的夹角。
O
B
A
θ
3.复习向量的夹角
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
θ
F
S
力F所做的功W可用下式计算

W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。
|a| cosθ（|b| cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。
注意：向量的数量积是一个数量。
思考：
a·b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正；
当90°＜θ ≤180°时a·b为负。
当θ =90°时a·b为零。
重要性质:
特别地
解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。
例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。
解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 °
= 2
a·b的几何意义：
练习：
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0．
3．若a ≠0，a · b =0，则b=0
4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0．
5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c
6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成立．
√
×
×
×
×
×
√
二、平面向量的数量积的运算律：
数量积的运算律：
注：
解:
解：
3、用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
量 ，即 。
解：设
则 ，
由此可得：