2．4　平面向量的数量积
2．4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义
第二章　 平面向量
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1．平面向量数量积的定义
已知两非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量___________叫做a与b的_________ (或______)，
记作a·b，即______________
规定零向量与任一向量的数量积均为______.
数量积
内积
0
|a||b|·cos θ
a·b＝|a||b|cos θ.
想一想
1.向量的数量积与向量的数乘相同吗？
提示：不相同．向量的数量积a·b是一个实数；数乘向量λa是一个向量．
做一做
1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝________.
2．向量的数量积的几何意义
(1)投影：|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的________
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影___________的乘积．
想一想
2.投影是向量吗？
提示：投影是数量而不是向量，它可正可负可为零，它的符号由θ的取值决定．
投影．
|b|cos θ
≤
a·b＝0
|a||b|
－|a||b|
做一做
答案：30°
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4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝_______ (交换律)．
(2)(λa)·b＝_______________(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝______________ (分配律)．
b·a
λ(a·b)＝a·(λb)
a·c＋b·c
想一想
3.对于向量a·b·c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？
提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立．
题型一　向量数量积的运算
【名师点评】　求两向量数量积的步骤是：
(1)求a与b的夹角；
(2)分别求|a|，|b|；
(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.应注意书写时a与b之间用“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
跟踪训练
1．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.
解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a|·|b|cos 0°＝3×6×1＝18；
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18；
题型二　向量的模长问题
跟踪训练
题型三　两个向量的夹角和垂直
(1)已知a2＝1，b2＝2，(a－b)·a＝0，求a与b的夹角．
(2)已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.求证：(a－b)⊥c.
(2)证明：由题意可得(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，
所以(a－b)⊥c.
跟踪训练
3．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量
a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．
1．向量数量积的几何意义，是一个向量的长度乘以另一向量在其上的投影值．这个投影值可正可负也可以为零，向量的数量积的结果是一个实数．
2．数量积的运算律只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这里是因为a·b，b·c都是实数，(a·b)·c与向量c方向相同或相反．a·(b·c)与向量a方向相同或相反，而a与c不一定共线，就是a与c共线，(a·b)·c与a·(b·c)也不一定相等．
3．向量数量积的性质及作用
设a和b是非零向量，a与b的夹角为θ.
(1)a⊥b⇔a·b＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系．
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，即当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|，此性质可用来证明向量共线．
规范解答
应用向量的模及夹角求解
(本题满分12分)已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
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(2)若(a＋2b)⊥(ka－b)，
则(a＋2b)·(ka－b)＝0 .8分
∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，10分
即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.12分
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抓关键　促规范
若cos 120°值算错，则后续计算结果全错，是本题的关键点．
解答时，应先求出 ，从而可求|4a－2b|，是本题突破点．
解答过程中，若未能根据(a＋2b)⊥(ka－b)推出 ，则无法求出k的值，这是在实际考试过程中失分很可惜的情况．
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跟踪训练