平面向量的数量积
2.4.1
平面向量数量积的
物理背景及其含义
定义：
一般地，实数λ与向量a 的积是一个向

量，记作λa，它的长度和方向规定如下：

(1) |λa|=|λ| |a|

(2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa 的方向与a方向相反；
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）叫做向量a与b的夹角。
O
B
A
θ
向量的夹角
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
θ
F
S
力F所做的功W可用下式计算

W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。
定
义
|a| cosθ（|b| cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。
注意：向量的数量积是一个数量。
思考：
a·b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正；
当90°＜θ ≤180°时a·b为负。
当θ =90°时a·b为零。
注：a,b都是非零向量。
重要性质:
特别地
解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。
a·b的几何意义：
练习：
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0．
3．若a ≠0，a · b =0，则b=0
4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0．
5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c
6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成立．
√
×
×
×
×
×
√
小结
数量积的定义
投影的概念
数量积是一个数，其正负的判断
数量积的重要性质
数量积的几何意义
作业
P108
2
二、平面向量的数量积的运算律：
数量积的运算律：
注：
则
(a + b) ·c = ON |c|
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
O
N
M
a+b
b
a
c
向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON,
证明运算律(3)
例 3：求证：
（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)
＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b
＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b
＝a2＋2a·b＋b2.
证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b
＝a·a＋b·a－a·b－b·b
＝a2－b2.
解:
作业：
3、用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
量 ，即 。
解：设
则 ，
由此可得：