2.2.3　平面向量
共线的坐标表示
向量共线的坐标表示：
如果a＝(x1， y1)，b＝(x2 ，y2)， a∥b，则有 ；反之，若x1y2－x2y1＝0，则 .
例1 已知
=(4，2)，
=(6， y)，且
解:
变式练习：若向量
=(-1，x)与
=(-x， 2)共线
且方向相同，求x.
例2 已知A(-1，-1),B(1,3),C(2,5),试判定A,B,C三点之间的位置.
﹒

＝
i
2
j
，
＝
＋
j
i
、
j
x
m
B
[
解析
]

解法一
∵
A
、
B
、
C
三点共线，即
AB
、
BC
共线，

∴
存在实数
使得
，

即
i
－
2
j
＝

所以
î
ï
í
ï
ì

＝
1
m
＝－
2
，
∴
m
＝－
2
，

即
m
＝－
2
时，
A
、
B
、
C
三点共线．
解法二:
依题意知
i
＝
(1,0),
j
＝
(0,1)
，

∴
AB
＝
(1
，
2)
BC
＝
(1
，
m
)
，而
AB
，
BC
共线，

∴
1
×
m
＋
2
＝
0.

故当
m
＝-
2
时，
A
、
B
、
C
三点共线．
（
的坐标；

1

1．若a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝(B 　)
A．3a＋b B．3a－b
C．－a＋3b D．a＋3b
2．下列各组向量相互平行的是 (　D　)
A．a＝(－1,2)，b＝(3,5) B．a＝(1,2)，b＝(2,1)
C．a＝(2，－1)，b＝(3,4) D．a＝(－2,1)，b＝(4，－2)
3.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝ -1
[答案]　B
1．若a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝(　　)
A．3a＋b B．3a－b
C．－a＋3b D．a＋3b
2．下列各组向量相互平行的是 (　　)
A．a＝(－1,2)，b＝(3,5)
B．a＝(1,2)，b＝(2,1)
C．a＝(2，－1)，b＝(3,4)
D．a＝(－2,1)，b＝(4，－2)
[答案]　D
[解析]　∵b＝(4，－2)＝－2(－2,1)＝－2a，
∴b∥a，所以D正确．
3.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
[答案]　－1
[解析]　∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，
∴a＋b＝(1，m－1)，
又∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，
∴2－(－1)·(m－1)＝0，
解得m＝－1.
小结:
（2）根据向量的坐标，判断向量是否共线；
能据向量共线求点的坐标、参变量 。
（1）平面向量的坐标运算；
1.若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)共线，则y＝_____.
2.如图，已知点
A（４，０），Ｂ（４，４），C(2，6)，
求AC、OB交点P的坐标.

【参考】

如图，已知点
A
(4,0)
，
B
(4,4)
，
C
(2,6)
，求
AC
、
[
分析
]

解法一：要求点
P
的坐标，可利用
O
、
P
、
B
三
点共线，
OP
→
＝
?
OB
→
，用
OB
→
的坐标表示
OP
→
的坐标，然后利用
A
，
P
，
C
共线求出
P
点坐标．
解法二：设出P点坐标，利用O，P，B三点共线，A，P，C三点共线列出方程组，通过解方程组求解．