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考点三
课前预习·巧设计
创新演练·大冲关
第二章

平面向量
考点一
考点二
读教材·填要点
小问题·大思维
解题高手
NＯ.2课下检测
2.3

平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.2 ～
2.3.3

平面向量的正交分解及坐标表示

平面向量的坐标运算
[读教材·填要点]
1．平面向量的正交分解
把一个向量分解成两个 的向量，叫做把向量正交分解．
2．平面向量的坐标表示
(1)向量的坐标表示：
在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个
i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝ ，则把有序数对 叫做向量a的坐标．记作 ，此式叫做向量的坐标表示．
(2)在直角坐标平面中，i＝ ，j＝ ，0＝ ．
互相垂直
向量
(x，y)
xi＋yj
a＝(x，y)
(1,0)
(0,1)
(0,0)
单位
3．平面向量的坐标运算
(x1＋x2，
y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
相应坐标
(λx，λy)
相应坐标
(x2－x1，y2－y1)
[小问题·大思维]
1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？
提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．
2．已知向量 ＝(－1，－2)，M点的坐标与 的坐标有什么关系？
提示：坐标相同但写法不同； ＝(－1，－2)，而M(－1，－2)．
3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？
提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量．
4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？
提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变．
[研一题]
[悟一法]
向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．因此，求向量a的坐标，关键是正确求出其起点和终点的坐标．
[通一类]
[研一题]
[悟一法]
1．向量的几种运算体系：
(1)向量有三种运算体系，即几何表示下的图形上的几何运算，字母表示下的运算和坐标表示下的代数运算．
(2)几何表示下的几何运算应注意三角形法则、平行四边形法则；字母表示时，注意运算律的应用；坐标运算时要牢记公式，细心计算．
2．向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
[通一类]
答案：B
[研一题]
保持例题条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？
[悟一法]
1．如果两个向量是相等向量，那么它们的坐标一定对应相等．当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与表示向量的有向线段终点的坐标相同．
2．证明一个四边形为平行四边形，可证明该四边形的一组对边所对应的向量相等．
[通一类]
3．已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝
f(u)表示．
(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标．
(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标．
解：(1)由v＝f(u)可得当u＝(x，y)时，有v＝(y,2y－x)＝f(u)，从而f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，
f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．
若向量|a|＝|b|＝1，且a＋b＝(1,0)，求a与b的坐标．
[点评]　法一利用模的概念和向量的坐标运算，通过解方程组来求解，思路自然严谨；法二利用了“三角换元”，借助三角公式简化了运算；法三利用了数形结合，解法直观，简洁明了．