2.3.2-3平面向量正交分解及坐标表示
问题情境
火箭在飞行过程中的某一时刻速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个速度。在力的分解的平行四边形过程中，我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力之和。
那么平面内的任一向量否可以用两个不共线的向量来表示呢？
动画演示
研究
平面向量基本定理
a = +
（1）一个平面向量的基底有多少对？
（有无数对）
思考
E
F
思考
（可以不同，也可以相同）
新课
O
A
B
C
·
例1
例2 如图，质量为10kg的物体A沿倾角θ=300的斜面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力。
A
C
B
A
D
E
F
G
变式
思考
此处可另解：
例5、 如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点.
请大家动手,
在图中确一组
基底，将其他向
量用这组基底表
示出来。
解析：

评析
能够在具体问题中适当地选取
基底，使其他向量能够用基底来表
示，再利用有关知识解决问题。
1.平面向量基本定理可以联系物理学中的力的分解模型来理解，它说明在同一平面内任一向量都可以表示为不共线向量的线性组合，该定理是平面向量坐标表示的基础，其本质是一个向量在其他两个向量上的分解。
课堂总结
本题在解决过程中用到了两向量共线的充要条件这一定理，并借助平面向量的基本定理减少变量，除此之外，还用待定系数法列方程，通过消元解方程组。这些知识和考虑问题的方法都必须切实掌握好。
评析
2. 在实际问题中的指导意义在于找到表示一个平面所有向量的一组基底（不共线向量 与 ），从而将问题转化为关于 、 的相应运算。
总结：
1、平面向量基本定理内容
2、对基本定理的理解
（1）实数对λ1、 λ２的存在和唯一
（２）基底的不唯一
（３）定理的拓展
３、平面向量基本定理的应用
求作向量、解（证）向量问题、解（证）
平面几何问题
思考
在梯形ABCD中，E、F分别时AB、CD
的中点，用向量的方法证明：
EF//AD//BC,且EF = (AD+BC)
研究
平面向量基本定理
a = +
（1）一个平面向量的基底有多少对？
（有无数对）
思考
E
F
思考
（可以不同，也可以相同）
新课
如图1，在直角坐标系内，我们
分别取与x轴、y轴方向相同的两
个单位向量i、 j作为基底，任何
一个向量a，由平面向量基本定理
可知，有且只有一对实数x、y，使
得
a=xi+yj
我们把（x,y)叫做向量a 的（直
角）坐标，记作
a=(x，y),
其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫
做a在y轴上的坐标，（x ,y）叫做
向量的坐标表示。
一、平面向量的坐标表示
i
如图2，在直角坐标平面内，以原
点O为起点作OA=a，则点A的位
置由a惟一确定。
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标
（x,y)就是点A的坐标；反过来，
点A的坐标（x,y)也就是向量OA
的坐标。因此，在平面直角坐标
系内，每一个平面向量都可以用
一对实数惟一表示。
例1 如图3，用基底i，j分别表示向量a、b、c、
d ,并求出它们的坐标。
j
解：由图3可知a=AA1+AA2=2i+3j,

∴ a=(2,3)
同理，b=-2i+3j=(-2,3)
c=-2i-3j=(-2,-3)
d=2i-3j=(2,-3)
二、平面向量的坐标运算
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则
a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)
=(x1+x2)i+(y1+y2)j
即
a+b=(x1+x2,y1+y2)
同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)
这就是说，两个向量和与差的坐标分别等
于这两个向量相应坐标的和与差。
结论：
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。
如图，已知A(x1,y1),B(x2,y2),
根据上面的结论，有
AB= OB - OA

= (x2,y2) - (x1,y1)

= (x2-x1,y2-y1)
练习：
已知 ＝（-5 , -1) ,点A的坐标为（x，y）点B的坐标为（－2，1）求 A 的坐标.
已知 ＝（-5 , -1) ,点A的坐标为（3，2）点B的坐标为（x，y）求 B 的坐标.
2、
1、
3、
4、
已知a=(x,y)和实数λ，那么  λ a=(λ x, λ y) 即 λa=(λx, λy)
这就是说，实数与向量的积的坐
标等于这个实数乘以原来向量的
相应坐标。
例2 已知
求
的坐标.
解：
2.3.3 平面向量的坐标运算
例3． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为

（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．
解：设顶点D的坐标为（x，y）
例3 已知
(1)若
求x;
(2)若
求x.
解：
解得：
评述：对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等。
例4 平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知
求
坐标.
A
D
B
C
O
分析：
的坐标，只要求得
的坐标即可.
解：由
要求得
评述：向量的、加减法，实数与向量的积是向量的基本运算， 对于用坐标表示的向量需运用向量的坐标运算法则，而几何图形中的向量应结合向量加、减法的几何意义以方便寻找关系。
例5 下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有
向量的基底，正确的判断是 （ ）
A.(1) B.(1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)
A
A
三、向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b<>0,那么可以知道，a//b的充要条件是存在一实数λ，使
a= λb
这个结论如果用坐标表示，可写为
（x1,y1）= λ(x2,y2)
即 x1= λx2
y1= λy2
消去λ后得


也就是说，a//b(b<>0)的充要条件是
x1y2-x2y1=0
x1y2-x2y1=0
谢谢同学们
再见