2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
一、导学提示，自主学习
二、新课引入，任务驱动
三、新知建构，典例分析
四、当堂训练，针对点评
五、课堂总结，布置作业
2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
一、导学提示，自主学习
1.本节学习目标
（1）了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底平面内的任一向量.
（2）掌握两个向量夹角的定义以及两个向量垂直的定义.
（3）借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义.
（4）了解向量与坐标的关系，会求给定向量的坐标.
学习重点: 平面向量基本定理、平面向量的坐标表示
学习难点：平面向量基本定理
一、导学提示，自主学习
2.本节主要题型
题型一 判断向量的基底
题型二 作两向量线性运算的结果
题型三 用基底表示向量
题型四 求向量的坐标
题型五 由向量共线求参数值
题型六 平面向量的正交分解及坐标表示
3.自主学习教材P93-P96
2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
一、数乘的定义：
它的长度和方向规定如下:
二、数乘的运算律：
二、新课引入，任务驱动
一.复习回顾：
三、向量共线的充要条件：
2).证明 三点共线:
直线AB∥直线CD
利用向量共线定理，能方便地证明几何中的三点共线和两直线平行问题.但要注意的是:向量平行和直线平行在重合概念上有区别.一般说两直线平行不包含两直线重合,而两向量平行则含两向量重合.
2. 定理的应用：
1).证明 向量共线
3).证明 两直线平行:
AB与CD不在同一直线上
通过本节的学习你能归纳出平面向量基
本定理及坐标表示吗？
二.任务驱动：
二、新课引入，任务驱动
三、新知建构，典例分析
1.新知建构
一. 平面向量基本定理
二. 向量的夹角
三. 平面向量正交分解
四. 平面向量坐标表示
给定平面内任意两个向量e1,e2，请作出向量3e1+2e2、e1-2e2，平面内的任一向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示呢？
三、新知建构，典例分析
一.平面向量基本定理：
三、新知建构，典例分析
N
M
由图可知，
三、新知建构，典例分析
三、新知建构，典例分析
如果 ， 是同一平面内的两个不共线的
向量,那么对于这一平面内的任一向量 ,
有且只有一对实数 １、２使

＝  １ ＋２
其中不共线的向量 , 叫做表示这一
平面内的所有向量的一组基底。
.gsp
平面向量基本定理：
(4)基底 给定时，分解形式唯一.
平面向量基本定理:
探究：
(1)我们把不共线向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不唯一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量 在给出基底 、 的条件下进行分解；
是由 、 、 唯一确定的数量
三、新知建构，典例分析
平面向量基本定理：
探究：
（5）一组平面向量的基底有多少对？
（有无数对）
(6)若基底选取不同，则表示同一向量的实数 、 是否相同？
（可以不同，也可以相同）
=
= 0
(8)特别的，若 与 共线，则有，
使得:
三、新知建构，典例分析
不共线向量有不同方向，它们的位置关系可以用夹角来表示．关于向量的夹角，规定：
三、新知建构，典例分析
二.向量的夹角：
记作
注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的
三、新知建构，典例分析

如图，光滑斜面上一个木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F2．也就是说，重力G的效果等价于F1和F2的合力的效果，即G=F1+F2．G=F1+F2叫做把重力G分解．
三、新知建构，典例分析
三.平面向量的正交分解：
在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如图，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解．
三、新知建构，典例分析
①
三、新知建构，典例分析
四.平面向量的坐标表示：
②
三、新知建构，典例分析
三、新知建构，典例分析
与a相等的向量坐标是什么？
与a的坐标相等.

向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？
多对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同
三、新知建构，典例分析
三、新知建构，典例分析
2 .典例分析：
题型一 判断向量的基底
题型二 作两向量线性运算的结果
题型三 用基底表示向量
题型四 求向量的坐标
题型五 由向量共线求参数值
题型六 平面向量的正交分解及坐标表示
三、新知建构，典例分析
三、新知建构，典例分析
题型一.判断向量的基底：
三、新知建构，典例分析
三、新知建构，典例分析
O
A
B
C
2.作平行四边形AOBC．
三、新知建构，典例分析
题型二.作两向量线性运算的结果：
三、新知建构，典例分析
三、新知建构，典例分析
题型三.用基底表示向量：
三、新知建构，典例分析
解：由图可知，
同理，
三、新知建构，典例分析
题型四.求向量坐标：
三、新知建构，典例分析
三、新知建构，典例分析
题型五.由向量共线求参数值：
三、新知建构，典例分析
题型六.平面向量正交分解及坐标表示：
四、当堂训练，针对点评
变式训练1-1：
四、当堂训练，针对点评
四、当堂训练，针对点评
变式训练2-1：
五、课堂总结，布置作业
1．课堂总结：
（1）涉及知识点：
平面向量基本定理、平面向量正交分解
及坐标表示。
（2）涉及数学思想方法：
转化与回归思想；数形结合思想;方程思想。
2.向量的夹角：共起点的两个向量形成的角
4.向量的坐标表示
把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量正交分解。
分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 作为基底，任一向
量a ，用这组基底可表示为a =xi + yj， （x，y）叫做向量a的坐标
五、课堂总结，布置作业
五、课堂总结，布置作业
2.作业设计：补充题
3.预习任务：必修4教材Ｐ96-Ｐ100
2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面
向量共线的坐标表示
五、课堂总结，布置作业
谢谢！再见！
六、结束语