1.2.2 同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由于平方关系对任意角都成立，则sin2α+cos2β=1也成
立.( )
(2)同角三角函数的基本关系对任意角α都成立.( )
(3)当角α的终边与坐标轴重合时，sin2α+cos2α=1也成
立.( )
(4)在利用平方关系求sin α或cos α时，会得到正负两个
值.( )
提示：(1)错误.必须是对同一个角.
(2)错误.sin2α+cos2α=1对任意角α∈R都成立；
而 只有 时成立.
(3)正确.对任意角α式子sin2α+cos2α=1都成立.
(4)错误.其正负号由角α所在的象限决定.
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
【知识点拨】
解读同角三角函数的基本关系
(1)同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函
数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相
同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关
系式成立与角的表达形式无关,如sin23α+cos23α=1.
(2)sin2α是(sin α)2的简写，不能写成sin α2.
(3)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式
子 不成立.
(4)注意公式变形的灵活应用.
(5)在应用平方关系式求sin α或cos α时,其正负号是由角
α所在的象限决定的.
类型 一 利用同角三角函数的基本关系求值
【典型例题】
1.若 且
则tan α=______.
2.已知sin α＝m(|m|＜1)，求tan α，cos α.
【解题探究】1.若α是第三象限角，如何由cos α表示
sin α？
2.若不知α是第几象限角，则由sin α求cos α时首先
需要做什么？
探究提示：
1.因为α是第三象限角，则
2.首先应根据α所在象限对α分类讨论．
【解析】1.因为
所以
所以
答案：
2.(1)当-1＜m＜1,m≠0时，
若α在第一、四象限，
则

若α在第二、三象限，则

(2)若m=0，则α=kπ(k∈Z) ，
所以tan α=0，cos α=±1．
【拓展提升】由某角的一个三角函数值求它的其余各三角函
数值的依据及种类
(1)依据： 要根据角α所
在的象限，恰当选定根号前面的正负号，而在使用
时，不存在符号的选取问题.
(2)分类：
①如果已知三角函数的值，且角的象限已被指定时，则只有一组解；
②如果已知三角函数的值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值确定角可能在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解；
③如果所给的三角函数值含字母，且没有指定角在哪个象限，那么就需要进行讨论．
【变式训练】已知α是第三象限角且tan α=2，求cos α的
值．
【解析】由tan α＝2知
则sin2α=4cos2α.又因为sin2α+cos2α=1，
所以4cos2α+cos2α=1，即
由α在第三象限知
类型 二 利用同角三角函数的基本关系化简
【典型例题】
1.化简sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β＝______.
2.化简：
【解题探究】1.题1中的式子有哪两个比较明显的特点？
2.(sin α±cos α)2展开式是什么？
探究提示：
1.每个因式都是关于α，β的正、余弦的平方.
2.(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α.
【解析】1.原式＝sin2α(1-sin2β)+sin2β+cos2αcos2β
=sin2αcos2β+cos2αcos2β+sin2β
=(sin2α+cos2α)cos2β+sin2β=1.
答案：1
2.原式
【互动探究】若题2改为
又如何进行化简呢？
【解析】原式
【拓展提升】利用同角三角函数的基本关系化简的标准及注意事项
(1)化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数．
(2)注意事项：在化简三角函数时，应注意“1”的代换，如sin2α+cos2α=1.对于函数种类较多的式子，化简时，常用“切化弦法”．
【变式训练】若角α的终边落在直线x+y=0上，
则 的值等于( )
A.2 B.-2 C.1 D.0
【解析】选D.
因为α终边在直线x+y=0上,
所以α是第二或第四象限角，sin α与cos α异号．
所以原式＝0.
类型 三 有关平方关系与商数关系的两类求值题
【典型例题】
1.已知 则cos α-sin α的值等于( )

2.已知 求下列各式的值：
(1)
(2)2sin2α+sin αcos α-3cos2α.
【解题探究】1.题1中cos α-sin α与cos αsin α之间的关系是什么？
2.题2中所求的式子能否转化为关于tan α的式子，方法是什么？
探究提示
1.(cos α-sin α)2=1-2cos αsin α.
2.能转化为关于tan α的式子，方法是分子、分母同时除以cos α或cos2α.
【解析】1.选B.因为
所以

2.(1)原式
(2)原式
【拓展提升】
1.关于sin α，cos α的齐次式的求值策略
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子，分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值.
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α+cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值.
2.利用sin α±cos α与sin αcos α间的关系求值
(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α;
(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α.
对sin α-cos α,sin α+cos α,sin αcos α可以“知一求二”.
【变式训练】已知
求sin θ·cos θ和sin θ-cos θ的值.
【解析】因为
所以
即
所以
由上知，θ为第二象限的角，
所以sin θ-cos θ＞0,
所以
类型 四 证明三角恒等式
【典型例题】
1.求证：
2.求证：
【解题探究】1.证明三角恒等式常有哪些技巧?
2.证明三角恒等式应遵循什么样的原则?
探究提示：
1.常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等.
2.应遵循由繁到简的原则.
【证明】1.左边

所以原式成立.
2.因为
所以
【拓展提升】证明三角恒等式的方法
(1)遵循化繁为简的原则，可以从“左边⇒右边”或从“右边
⇒左边”．
(2)依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一
个式子．
(3)依据等价转化思想，证明与原式等价的另一个式子成立，
从而推出原式成立．
(4)也可以通过作差或作商，左边-右边＝0或
【变式训练】求证：2(1-sin α)(1+cos α)=(1-sin α+
cos α)2.
【证明】因为左边=2(1+cos α-sin α-sin αcos α)，
右边=(1-sin α)2+2(1-sin α)cos α+cos2α
=1-2sin α+sin2α+2cos α-2sin αcos α+cos2α
=2(1+cos α-sin α-sin αcos α)，
所以左边=右边，原等式成立.
【规范解答】同角三角函数的基本关系的应用
【典例】
【条件分析】
【规范解答】因为
所以α是第一或第二象限的角①. ………………………2分
若α是第一象限的角①，
则cos α＞0,tan α＞0，………………………………4分
所以 …………………6分
…………………………………………8分
若α是第二象限的角①，
则cos α＜0,tan α＜0,………………………………10分
所以

……………………………………12分
【失分警示】
【防范措施】
1.分类讨论的意识
由已知三角函数值求另外的两个三角函数值时，要注意角
所在的象限的讨论.如本例中角α分为第一象限角或第二象
限角两种情况.
2.基本关系的把握
要熟练把握好同角三角函数的基本关系，如本例中欲求
cos α及tan α的值，寻求建立与sin α的关系，把握
好符号才能避免出错.
【类题试解】已知 且α是第三象限的角，
求sin α，cos α的值.
【解析】因为
所以 即cos α=3sin α.
因为sin2α+cos2α=1，
所以sin2α+(3sin α)2=1，
则 又α是第三象限的角，
所以
则
1. 则tan α的值为( )

【解析】选B.因为
所以
2.下列四个式子中可能成立的一个是( )
A.
B.sin α=0且cos α=-1
C.tan α=1且cos α=-1
D. (α为第二象限角)
【解析】选B.选项A不符合sin2α+cos2α=1；选项B符合
sin2α+cos2α=1，可能成立；由 知选项D不
正确；选项C也不可能正确.
3.若 则tan α=( )

【解析】选A. 即
解得tan α=1.
4.化简 的结果为( )

【解析】选A.
5.如果角θ满足 那么 的值
是_______.
【解析】
又
答案：2
6.已知 求sin α，tan α的值．
【解析】当α是第二象限角时，

当α是第三象限角时，