初中是如何定义角的？

从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。
O
初中角概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0º, 360º) 这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.而且，生活中很多实例会不在该范围内。
例如：
体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º；
经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？
……
这些例子不仅不在范围[0º, 360º) ，而且方向不同。
所以，就有必要将角的概念推广到任意角，同学们想想用什么办法才能推广到任意角？
关键是用运动的观点来看待角的变化。
1.1.1 任意角
掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
1、充分结合角和单位圆来了解任意角及弧度的概念。
2、掌握用数形结合的思想方法来认识问题。
能够在已有的经验（生活经验，数学学习经验）的基础上，更好的学习任意角、象限角、终边相同的角等概念。
理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
“旋转”定义角。
1、“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α。
旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点。
角的概念的推广
2、“正角”与“负角”、“0º角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°。
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0º）.
角的记法：角α或可以简记成∠α。
3、角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
（1）角有正负之分；
如：=210, = 150, =660.
（2）角可以任意大；
实例：体操动作：旋转2周（360×2=720） 3周（360×3=1080）
（3）还有零角，一条射线，没有旋转。
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角。
要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样。
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；
（1）旋转中心：作为角的顶点；
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）.
（3）旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的绝对值可大于360º .于是就会出现720º ， － 540º等角度。
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）。
象限角
例如：
30、390、330是第Ⅰ象限角，
300、 60是第Ⅳ象限角，
585、1300是第Ⅲ象限角，
135  、2000是第Ⅱ象限角等。
1、角的顶点与原点重合。
2、角的始边与x轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
3、终边在坐标轴的角不属于任何象限。
知识要点
例1：在0º到360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角。
(1) －120º；(2) 640º；(3) －950º12′.
⑶ ∵－950º12′=－3×360º+129º48′，
∴129º48′的角与－950º12′的角终边相同，它是第二象限角。
解：⑴∵－120º=－360º+240º，
∴240º的角与－120º的角终边相同，
它是第三象限角。
⑵ ∵640º=360º+280º，
∴280º的角与640º的角终边相同，
它是第四象限角。
例2：在0°~360°的范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判断它是第几象限角。
解： ∵－950°12′ =129°48′－３×360°，
∴在0°~360°范围内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′。
它是第二象限角。
1、观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同.
2、探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与k(k∈Z)个周角的和：
390=30+360(k=1), 330=30360 (k=－1)
30=30+0×360 (k=0), 1470=30+4×360(k=4)
1770=305×360 (k=－5)
终边相同的角
390°＝30°＋360°
－330°＝30°－360°
30°＝30°＋0×360°
与α终边相同的角的一般形式为
α＋k360°，k ∈ Z
……
3、结论：
所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：{β| β=α+k·360º}(k∈Z)
即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。
4、注意以下四点：
① k∈Z；
② 是任意角；
③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成k·360º+(－30º)；
④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍。
S={β|β=α+k360°,k∈ Z}.
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
知识要点
例3： 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来：
(1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′。
解：(1) S={β| β=k·360º+60º (k∈Z) },
S中在－360º～720º间的角是
－1×360º+60º=－280º；
0×360º+60º=60º；
1×360º+60º=420º。
(2) S={β| β=k·360º－21º (k∈Z) }
S中在－360º～720º间的角是
0×360º－21º=－21º；
1×360º－21º=339º；
2×360º－21º=699º。
(3) β| β=k·360º+ 363º14’ (k∈Z) }
S中在－360º～720º间的角是
－2×360º+363º14’=－356º46’；
－1×360º+363º14’=3º14’；
0×360º+363º14’=363º14’。
180°+ k360°
分析：终边落在坐标轴上的情形
0°+k360°
90°+ k360°
270°+ k360°
或360°+ k360°
例4：写出终边落在y轴上的角的集合。
解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β|β=90°+k∙360°,k∈Z}
={β| β=90°+2k·180° ,k∈Z}
终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为
S2={β| β=270°+k∙360°,k∈Z}
={β| β=90°+(2k+1) ·180° ,k∈Z}
∴终边落在ｙ轴上的角的集合为
S=S1∪S2
={β| β=90°+n∙180° ，n∈Z}

例5：写出终边落在x轴上的角的集合。
分析：终边落在坐标轴上的情形
S1={β| β= 90°+K∙360°,K∈Z}
={β| β=90°+2K∙180°，K∈Z}
={β| β=90°+180° 的偶数倍}
解：终边落在x轴正半轴上的角的集合为
终边落在x轴负半轴上的角的集合为
S2={β| β=270°+K∙360°,K∈Z}
={β| β= 90°+ 180°+ 2K∙180°,K∈Z}
={β| β= 90°+（2K+1）180° ，K∈Z}
={β| β=90° +180 ° 的奇数倍}
｛偶数｝∪｛奇数｝ ＝｛整数｝
S=S1∪S2
∴ 终边落在Ｘ轴上的角的集合为
={β| β=180° 的偶数倍}
∪{β| β=180° 的奇数倍}
={β| β=180° 的整数倍}
={β| β=K∙180° ，K∈Z}
锐角是第几象限角，第一象限角一定是锐角吗？
锐角是第一象限角.
第一象限角不一定是锐角。
试想：都有哪些角的终边与30°角的终边相同?
探究
390°
750°
1110°
30°+2×360°
30°+3×360 °
30°+(－2×360° )
30°+(－3×360° )
－330°
－690°
－1150°
30°+360°
30°+(－360° )
1、任意角的概念
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角。
负角：射线按顺时针方向旋转形成的角。
零角：射线不作旋转形成的角。
⑴ 置角的顶点于原点；
⑵ 始边重合于X轴的正半轴。
2、象限角
终边落在第几象限就是第几象限角。
3、终边与角ａ相同的角
ａ＋K×360°，K∈Z。
1、下列命题正确的是 （ ）
A.终边相同的角一定相等
B.第一象限角都是锐角
C.锐角都是第一象限角
D.小于90°的角都是锐角
C
2、A=｛小于90°的角｝，B=｛第一象限角｝，则A∩B=（ ）
A.｛锐角｝
B.｛小于90°的角｝
C.｛第一象限角｝
D.以上都不对
A
3、已知角α是第三象限角，则角-α的终边在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
4、将－885°化为α+k· 360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是（ ）
A
A.－165°+(－2)×360°
B.195°+(－3) ×360°
C.195°+(－2) ×360°
D.165°+(－3) ×360°
5、与120°终边相同的角是（ ）
C
A.－600°+k· 360°(k∈Z)
B.－120°+k· 360°(k∈Z)
C.120°+(2k+1)· 180°(k∈Z)
D.660°+k· 360°(k∈Z)
6、写出与370°23 ′ 终边相同角的集合S，并把S中在－720°～360°间的角写出来。
解：
∵370°23′=10°23′+360°
∴与370°23′终边相同角的集合为
S={α|α= 10°23′+k·360°，k∈Z}
在－720°～360°之间的角分别是
10°23′，10°23′－360°，10°23′－720°
即：10°23′，－349°37′ ，－709°37′。
7、
判断角所在象限。
当 时，
在第一象限；
解：∵
∴可设
当 时，
在第二象限.
∴角在第一或第二象限。
1、锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；直角不属于任何一个象限，不属于任何一个象限的角不一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝角。
2、三，三，五。
3、（1）第一象限角；
（2）第四象限角；
（3）第二象限角；
（4）第三象限角。
4、（1）305°42′，第四象限角；
（2）35°8′，第一象限角；
（3）249°30′，第三象限角。
5、（1）{β│β=1303°18′+k·360°,k∈Z},
－469°42′，－136°42′，223°18′；
（2）{β│β=－225°+k 360°,k∈Z},
－585°，－225°，135°。