1.1.1 任意角的概念
1、角的概念
初中是如何定义角的？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.
这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0º, 360º)，
这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.
生活中很多实例会不在该范围。
体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º；
经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？
这些例子不仅不在范围[0º, 360º) ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，
想想用什么办法才能推广到任意角？
关键是用运动的观点来看待角的变化。
2．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．
旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
⑵．“正角”与“负角”、“0º角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°，
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0º）．
角的记法：角α或可以简记成∠α.
⑶角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了
① 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660.
② 角可以任意大;
实例：体操动作：旋转2周（360×2=720） 3周（360×3=1080）
③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；
（1）旋转中心：作为角的顶点.
（3）旋转量：
当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的绝对值可大于360º .于是就会出现720º ， － 540º等角度.
3．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的非负半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，
300、 60是第Ⅳ象限角，
585、1300是第Ⅲ象限角，
135  、2000是第Ⅱ象限角等
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于
任何象限，或称这个角为轴线角.
4．终边相同的角
⑴ 观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同.
⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与k(k∈Z)个周角的和：
390=30+360(k=1), 330=30360 (k=－1)
30=30+0×360 (k=0), 1470=30+4×360(k=4)
1770=305×360 (k=－5)
⑶ 结论：
所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：{β| β=α+k·360º}(k∈Z)
即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和
⑷注意以下四点：
① k∈Z；
② 是任意角；
③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成k·360º+(－30º)；
④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍.
例1. 在0º到360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120º；(2) 640º；(3) －950º12′.
解：⑴∵－120º=－360º+240º，
∴240º的角与－120º的角终边相同，
它是第三象限角．
⑵ ∵640º=360º+280º，
∴280º的角与640º的角终边相同，
它是第四象限角．
⑶ ∵－950º12’=－3×360º+129º48’，
∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同，
它是第二象限角．
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来：
(1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.
解：(1) S={β| β=k·360º+60º (k∈Z) },
S中在－360º～720º间的角是
－1×360º+60º=－280º；
0×360º+60º=60º；
1×360º+60º=420º．
(2) S={β| β=k·360º－21º (k∈Z) }
S中在－360º～720º间的角是
0×360º－21º=－21º；
1×360º－21º=339º；
2×360º－21º=699º．
(3) S={β| β=k·360º+ 363º14’ (k∈Z) }
S中在－360º～720º间的角是
－2×360º+363º14’=－356º46’；
－1×360º+363º14’=3º14’；
0×360º+363º14’=363º14’．
例3: 写出终边在Y轴上的角的集合
分析:首先写出在Y轴的正半轴上的角的集合,然后写出在Y轴的负半轴上的角的集合
解答:终边在Y轴的非负半轴上的角的集合为边在Y轴的负半轴上的角的集合为

终边在Y轴的非正半轴上的角的集合为
例4．用集合的形式表示象限角
第一象限的角表示为

第二象限的角表示为

第三象限的角表示为

第四象限的角表示为
{|k360<{|k360+90<{|k360+180<{|k360+270< 或{|k36090<例5:写出终边在直线 上的角的集合S,并把S中适 合不等式 的元素 写出来
110°， 230°， 350°.
小结作业
1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.
2.终边相同的角有无数个，在0°～360°范围内与已知角β终边相同的角有且只有一个. 用β除以360°，若所得的商为k，余数为α（α必须是正数），则α即为所找的角.
课堂练习
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间(0º,90º)内的角是锐角吗？
答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐角．
2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
(1)420º，(2) －75º，(3)855º，(4) －510º．
答：(1)第一象限角；
(2)第四象限角，
(3)第二象限角，
(4)第三象限角.
3、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边在（ ）
A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上
C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上
A
4、终边与坐标轴重合的角的集合是（ ）
A {β|β=k·360º (k∈Z) }
B {β|β=k·180º (k∈Z) }
C {β|β=k·90º (k∈Z) }
D {β|β=k·180º+90º (k∈Z) }
C
5 、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是( )
A 第一象限角 B 第一、二象限角
C 第一、三象限角 D 第一、四象限角
C
6、若α是第四象限角，则180º－α是（ ）
A 第一象限角 B 第二象限角
C 第三象限角 D 第四象限角
C
7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，那么α与β之间的关系是（ ）
A. β=α+90o
B β=α±90o
C β=k·360o+90o+α,k∈Z
D β=k·360o±90o+α, k∈Z
D
8、若90º<β<α<135º，则α－β的范围是__________，α+β的范围是___________;
(0º,45º)
(180º,270º)
解：β=k·360º+60º，k∈Z.
当k=0时，得角为20º，
当k=1时，得角为140º，
当k=2时，得角为260º.