新课标人教版
《高中数学》

必修4
教学目标
1.理解任意角的概念；
2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。
3.教学重、难点：
判断已知角所在象限；
终边相同的角的书写。
1.1.1《任意角》
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
第一章 三角函数
问题提出
1.角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量
其大小的.在平面几何中，角的取值范围如何？
2.体操是力与美的结合，也充满了角的概念．
2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180度、 转体900度就是一个角的概念.
3.过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实际问题中还会遇到其他角．如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体10800”、“转体12600”这样的解说．再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照不同方向旋转所成的角，不全是0°～3600范围内的角.因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广.
知识探究（一）：角的概念的推广

思考：在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600所形成的角，与按顺时针方向旋转600所形成的角是否相等？
2、规定：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，我作如下规定.

3、画图表示一个大小一定的角：
①先画一条射线作为角的始边，
②再由角的正负确定角的旋转方向，
③再由角的绝对值大小确定角的旋转量，
画出角的终边，并用带箭头的
螺旋线加以标注.
思考：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？
－120°，450°.
思考：任意两个角的数量大小可以相加、相减，如 50°＋80°=130°， 50°－80°=－30°，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
以50°角的终边为始边，逆时针（或顺时针）旋转80°所成的角.
思考：一个角的始边与终边可以重合吗？如果可以，这样的角的大小有什么特点？
k·360°（k∈Z）
知识探究（二）：象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？
可能落在x轴的非负半轴，第一象限、、、
4、规定：如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角.
那么下列各角：-50°，405°，210°, -200°，－450°分别是第几象限的角？
思考3：锐角与第一象限的角是什么逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？
思考4：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.
思考5：在直角坐标系中，135°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135°吗？
知识探究（三）：终边相同的角
思考1：－32°，328°，－392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？
－32°
－392°
328°
思考2：与－32°角终边相同的角有多少个？
这些角与－32°角在数量上相差多少？
思考3：所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}
即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
5、定义：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以表示为：

x轴正半轴：α= k·360°，k∈Z ；
x轴负半轴：α= 180°＋k·360°，k∈Z ；
y轴正半轴：α= 90°＋k·360°，k∈Z ；
y轴负半轴：α= 270°＋k·360°，k∈Z .

终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；
终边在y轴上：S={α|α=90°＋k·180°，k∈Z}.
7、第一、二、三、四象限的角的集合
分别表示：
第一象限：
S={α | k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}；
第二象限：
S={α | 90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}；
第三象限：
S={α | 180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}；
第四象限：
S={α | －90°＋k·360°<α练习：
如果α是第二象限的角，那么2α、α/2分别是第几象限的角？
理论迁移
例1 在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
129°48′，第二象限角.
例2
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
－315°，-135°，45°，225°，405°，585°.
小结作业
1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.
2.终边相同的角有无数个，在0°～360°范围内与已知角β终边相同的角有且只有一个. 用β除以360°，若所得的商为k，余数为α（α必须是正数），则α即为所找的角.
作业：

P5 习题1.1A组 ：1，2，3.
再见