高考物理总复习
专题五 机械能
专题五 机械能
章前考纲统览
第一课时　功　功率
一、功
1、定义：物体受到力的作用，并在力的方向上发生一段位移，就说该力对物体做了功．
2、做功的两个必要条件：
做功的两个必要条件是力和物体在力的方向上的位移，两者缺一不可．
功是过程量，即做功必定对应一个过程(位移)，应明确是哪个力在哪一个过程做的功．
3、公式：W＝Fscosα.
4、功的正负：功是标量，但有正、负之分．
⑴当0≤α＜90°时，W＞0，力对物体做正功．
⑵当90°＜α≤180°时，W＜0，力对物体做负功，也可说物体克服该力做了功．
⑶当α＝90°时，W＝0，力对物体不做功．
②根据力和瞬时速度方向的夹角判断．此法常用于判断质点做曲线运动时变力的功，夹角为锐角时做正功，夹角为钝角时做负功．夹角为直角时不做功．
⑷功的正、负的判断
①根据力和位移的方向的夹角判断，此法常用于恒力做功的判断．
5、功的计算
⑴恒力及合力做功的计算
①恒力的功：直接用公式W＝Fscosα计算．
②合外力的功
a、先求合外力F合，再应用公式W合＝F合·scosα求功，其中α为合力F合与位移s的夹角．一般适用于整个过程中合力恒定不变的情况．
b．分别求出每个力的功W1、W2、W3…再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力的功．这种方法一般适用于在整个过程中，某些力分阶段作用的情况．
c．利用动能定理或功能关系求解．
⑵变力做功的计算
①当变力的功率P一定时，可用W＝Pt求功，如机车恒功率启动时．
②将变力做功转化为恒力做功
a．当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程(不是位移)的乘积．如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等．
b．当力的方向不变，大小随位移做线性变化时，可
先求出力对位移的平均值 ，再由
计算，如弹簧弹力做功．
③作出变力F随位移s变化的图象，图象与位移轴所围的“面积”即为变力做的功．图中(a)图表示恒力F做的功W，(b)图表示变力F做的功W.
④用动能定理W＝ΔEk或功能关系W＝ΔE，即用能量的增量等效代换变力所做的功．(也可计算恒力的功)
如图所示，A、B叠放着，A用绳系在固定的墙上，用力F拉着B向右移动，则下列说法中正确的是(A未脱离B)( )
A．拉力F对B做正功
B．绳的拉力对A不做功
C．B给A的摩擦力对A做正功
D．A给B的摩擦力对B做负功
ABD
例与练
某物体同时受到三个力作用而做匀减速直线运动，其中 F1 与加速度 a 的方向相同，F2 与速度 v 的方向相同，F3 与速度 v 的方向相反，则（ ）
A．F1对物体做正功
B．F2对物体做正功
C．F3对物体做正功
D．合外力对物体做负功
BD
例与练
如图所示，用恒力F通过光滑的定滑轮把静止在水平面上的物体(大小可忽略)从位置A拉到位置B，物体的质量为m，定滑轮离水平地面的高度为h，物体在位置A、B时细绳与水平方向的夹角分别为θ1 和θ2，求绳的拉力对物体做的功。
答案：
例与练
如图所示，物体沿弧形轨道滑下后进入足够长的水平传送带，传送带以如图所示方向匀速运转，则传送带对物体做功情况不可能是(　 　)
A．始终不做功
B．先做负功后做正功
C．先做正功后不做功
D．先做负功后不做功
B
例与练
用水平拉力拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图所示，已知物块与轨道间的滑动摩擦系数为μ，物块质量为m，求此过程中摩擦力做的功。
答案：W=μmg2πR
例与练
设碰撞时机械能没有损失，物体最后静止，求通过的路程。
如图所示，质量为 M、长度为 L 的木板静止在光滑的水平面上，质量为 m 的小物体(可视为质点)放在木板上最左端，现用一水平恒力 F 作用在小物体上，使物体从静止开始做匀加速直线运动．已知物体和木板之间的摩擦力为f 。当物体滑到木板的最右端时，木板运动的距离为 x，则在此过程中（ ）
A．力 F 对物体做功大小为 F(L＋x)
B．摩擦力对物体做功为－f L
C．摩擦力对物体做功为－f x
D．摩擦力对木板做功为 f x
AD
例与练
物体沿直线运动的 v－t 关系如图 所示，已知在第 1 s 内合外力对物体做的功为 W，则（ ）
A．从第 1 s 末到第 3 s 末合外力做功为 4W
B．从第 3 s 末到第 5 s 末合外力做功为－2W
C．从第 5 s 末到第 7 s 末合外力做功为 W
D．从第 3 s 末到第 4 s 末合外力做功为－0.75W
CD
例与练
二、功率
1、定义：功跟完成这些功所用时间的比值叫做功率
⑴P=W/t， P为时间t内的平均功率
2、公式：
⑵ （α为F与v的夹角）
①v为平均速度则P为平均功率
②v为瞬时速度则P为瞬时功率
3、单位：瓦特(W)，1W＝1 J/s
4、物理意义：功率描述做功的快慢，功率大则做功快，功率小则做功慢。
5、额定功率：机械正常工作的最大输出功率叫额定功率，一般在机械的铭牌上标明
6、实际功率：机械实际工作时输出的功率．要求小于等于额定功率
质量为m的物体沿倾角为α的固定斜面滑到底端时的速度大小为v，此时重力的瞬时功率为（ ）
A．
B．
C．
D．
B
例与练
从空中以40m/s的初速度平抛一重为10N的物体，物体在空中运动3s落地，不计空气阻力，取g=10m/s2，则物体落地时重力的瞬时功率是多少？
答案：P=Fv=mgvy=mg2t=300w
落地时重力的平均功率多少？
例与练
质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t=0时刻开始受到水平力的作用。力的大小F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则( )
A.3t0时刻的瞬时功率为5F02t0/(2m)
B.3t0时刻的瞬时功率为15F02t0/(m)
C.在t=0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为
23F02t0/(4m)
D.在t=0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为
25F02t0/(6m)
BD
例与练
类型1：机车以恒定功率P 启动
P＝F v
发动机的实际功率
发动机的牵引力
机车的瞬时速度
当F=F阻时，
a＝0 ，v达到最大
保持
vm
匀速
v
↑
→
↓
↑
→
→
↓
↓
加速度逐渐减小的变加速直线运动
匀速直线运动
三、机车启动问题
先做加速度逐渐减小的变加速直线运动，最终以速度 做匀速直线运动。
vm
机车以恒定功率启动的v－t 图象
两个常用公式：
（1）瞬时加速度公式:
（2）最大速度公式：
发动机做的功只能用W =Pt计算，不能用W =Fs计算（因为F为变力）
类型2：机车以恒定加速度 a 启动
当F= F阻时，
a＝0 ，v达到最大
保持
vm
匀速
↑
→
↓
↓
→
→
→
→
P＝F v
↑
↑
→
当P= P额时，保持P额继续加速
机车以恒定加速度启动的v－ t 图
先做匀加速直线运动，再做加速度逐渐减小的变加速直线运动，最终以速度 做匀速直线运动。
做匀加速运动只能维持一段时间,在这段时间内牵引力的功率随时间的增大而增大,当增大到额定功率时,匀加速运动结束。
t1
关于汽车在水平路上运动，下列说法中正确的是( )
A．汽车以额定功率启动，在速率达到最大以前，加速度是在不断增大的
B．汽车以恒定加速度启动，在速度达到最大以前，牵引力是不断增大的
C．汽车启动后以最大速度行驶，则牵引力等于阻力
D．汽车以最大速度行驶后，若要减小速度，可减小牵引功率
例与练
CD
汽车发动机的功率为60 kW，若其总质量为5 t，在水平路面上行驶时，所受阻力恒为车重的0.1倍，g取10 m/s2。
(1)汽车保持其额定功率不变，从静止起动后能达到的最大速度是多大？当汽车的加速度为2 m/s2时，速度多大？当汽车的速度为6m/s时，加速度是多大？
(2)若汽车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，问这一过程能维持多长时间？
例与练
答案：(1)vm=12m/s; v=4m/s; a=1m/s2
(2)t=16s
第二课时　动能　动能定理
一、动能
1、定义：物体由于运动而具有的能．
2、表达式：
3、矢标性：标量．
4、单位：焦耳，1 J＝1 N·m＝1 kg·m2/s2.
5、瞬时性：因为v是瞬时速度．
6、相对性：物体的动能相对于不同的参考系一般不同
二、动能定理
1、内容：合外力对物体所做的功等于物体动能的改变量．
2、表达式：
3、适用范围：直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、各个力同时做功、分段做功均可用动能定理．
4、注意：动能定理说明外力对物体所做的总功和动能变化间的一种因果关系和数量关系，不可理解为功转变成了物体的动能．
5、运用动能定理解题的一般步骤：
①明确研究对象和运动过程．
②分析受力及各力做功的情况．
③明确初、末状态的动能．
④列出动能定理方程，并求解．
如图所示，一质量为2 kg的铅球从离地面2 m高处自由下落，陷入沙坑2 cm深处，求沙子对铅球平均阻力的大小．(g取10 m/s2)
答案：2020 N
例与练
质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨道的最低点时，绳子的张力为7mg，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为( )
A、(1/4)mgR B、(1/3)mgR
C、(1/2)mgR D、mgR
C
例与练
一物块以5m/s的初速度从曲面的A点开始下滑，运动到B点时的速度为5m/s，若物块以6m/s的初速度仍从A点开始下滑，它运动到B点的速度（ ）
A、大于6m/s
B、小于6m/s
C、等于6m/s
D、无法确定
B
例与练
用汽车从井下提重物，重物质量为m，定滑轮高为H，如图所示，已知汽车由A点静止开始运动至B点时的速度为v，此时轻绳与竖直方向夹角为， 这一过程中轻绳的拉力做功多大？
解析：绳对重物的拉力为变力，应用动能定理列方程。以重物为研究对象：
WT-mgh=(1/2)mvm2
由图所示，重物的末速度vm与汽车在B点的速度v沿绳方向的分速度相同， 则
vm=vsin
h=H/cos-H
联立以上各式解得：
WT=mgH (1-os)/cos+(1/2)mv2sin2。
例与练
(2010 年全国卷Ⅱ)如图 ，MNP 为竖直面内一固定轨道，其圆弧段 MN 与水平段 NP 相切于 N，P 端固定一竖直挡板．M 相对于 N 的高度为 h，NP 长度为 s.一物块自 M 端从静止开始沿轨道下滑，与挡板发生一次完全弹性碰撞后停止在水平轨道上某处．若在 MN 段的摩擦可忽略不计，物块与 NP段轨道间的滑动摩擦因数为μ，求物块停止的地方与 N 点距离的可能值．
解析：
没有滑上圆弧就静止：
滑上圆弧后静止：
例与练
答案：1600m
一列车的质量是5.0×105 kg，在平直的轨道上以额定功率3 000 kW加速行驶，当速度由10 m/s加速到所能达到的最大速度30 m/s时，共用了2 min，则在这段时间内列车前进的距离是多少？(设阻力恒定)
例与练
如图 所示，木板可绕固定水平轴 O转动．木板从水平位置 OA 缓慢转到 OB 位置，木板上的物块始终相对于木板静止．在这一过程中，物块的重力势能增加了 2 J．用 N 表示物块受到的支持力，用 f 表示物块受到的摩擦力．在此过程中，以下判断正确的是（ ）
A．N 和 f 对物块都不做功
B．N 对物块做功为 2 J，f 对物块不做功
C．N 对物块不做功，f 对物块做功为 2 J
D．N 和 f 对物块所做功的代数和为 0
B
例与练
如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置．在下列三种情况下，分别用水平拉力F将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置．在此过程中，拉力F做的功各是多少？
(1)用F缓慢地拉；( )
(2)F为恒力；( )
(3)若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零．( )
可供选择的答案有　　　　　　　　　　　　
A．FLcosθ B．FLsinθ
C．FL(1－cosθ) D．mgL(1－cosθ)
例与练
B
D
BD
如图所示，一个质量为m的圆环套在一根固定的水平直杆上，环与杆的动摩擦因数为μ，现给环一个向右的初速度v0，如果在运动过程中还受到一个方向始终竖直向上的力F的作用，已知力F的大小为F＝kv(k为常数，v为环的运动速度)，则环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功(假设杆足够长) 可能为(　　 )
例与练
ABD
第三课时　机械能　机械能守恒定律
一、重力势能
1、重力做功的特点：重力做功与路径无关，与初、末位置在竖直方向上的高度差有关，大小WG＝mgh.
2、重力势能
⑴概念：物体处于一定的高度而具有的能．
⑵表达式：Ep＝mgh.
⑶重力势能的正、负：由于重力势能是标量，故其正、负表示势能的大小．
⑷相对性：重力势能具有相对性，h是物体的重心到参考平面(零势能面)的高度．
3、重力做功与重力势能变化的关系：WG＝－ΔEp.
二、弹性势能
1、概念：物体因为发生弹性形变而具有的能叫做弹性势能．
2、弹簧弹性势能大小：与弹簧的劲度系数和形变量有关．
3、弹力做功与弹性势能的变化：弹力做正功，物体的弹性势能减小，弹力做负功，物体的弹性势能增加．表达式为W＝－ΔEp.
三、机械能及其守恒定律
1、机械能：动能和势能统称为机械能．物体的机械能为其动能和势能(重力势能和弹性势能)之和．
2、内容：在只有重力做功的情况下，物体的动能与重力势能可以发生相互转化，但机械能的总量保持不变．如果还有弹力做功，则发生动能、重力势能和弹性势能的相互转化，但机械能的总量仍保持不变．
3、表达式：
⑴从能量守恒的观点：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2，即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之和。
⑵从能量转化的观点：Ek=-Ep，即动能的增加量等于势能的减少量。
⑶从能量转移的观点：EA=-EB，即A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量。
4、对机械能守恒条件的理解
机械能守恒的条件是：只有重力或弹簧弹力做功。可以从以下三个方面理解：
⑴只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒．
⑵受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹簧弹力做功．例如物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功，物体的机械能守恒．
⑶除重力或弹簧弹力之外，还有其他力做功，但其他力做功的总和为零，物体的机械能不变．
⑴利用机械能的定义判断：(直接判断)若物体在水平面上匀速运动，其动能、势能均不变，机械能不变．若一个物体沿斜面匀速下滑，其动能不变，重力势能减少，其机械能减少．
5、判断机械能是否守恒的几种方法
⑷对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒．
⑶用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒．
⑵用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒．
下列物体运动过程中满足机械能守恒的是(　　 )
A．跳伞运动员张开伞后，在空中匀速下降
B．忽略空气阻力，物体竖直上抛
C．火箭升空
D．拉着物体沿光滑斜面匀速上升
B
例与练
如图所示，在水平台面上的A点，一个质量为m的物体以初速度v0被抛出，不计空气阻力，求它到达台面下h处的B点时速度的大小．
答案：
(2010 年上海卷)高台滑雪运动员腾空跃下，如果不考虑空气阻力，则下落过程中该运动员机械能的转换关系是（ ）
A．动能减少，重力势能减少
B．动能减少，重力势能增加
C．动能增加，重力势能减少
D．动能增加，重力势能增加
C
例与练
如图所示，小球自 a 点由静止自由下落，到 b 点时与弹簧接触，到 c点时弹簧被压缩到最短，若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由 a→b→c 的运动过程中（ ）
A．小球的机械能守恒
B．小球和弹簧总机械能守恒
C．小球在 b 点时动能最大
D．小球 b→c 的运动过程中加速度
先减小后增大
BD
例与练
在如图所示的物理过程中，固定轴光滑，水平面光滑，空气阻力忽略不计。甲、乙、丁小球从图示位置释放．丙图最后A车带动B车运动，则关于几个物理过程，下列判断中正确的是(　 　)
A．甲图中小球机械能守恒
B．乙图中小球A的机械能守恒
C．丙图中两车组成的系统机械能守恒
D．丁图中小球的机械能守恒
例与练
A
如图所示，物块、斜面和水平面都是光滑的，物块从静止开始沿斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？
解析：以物块和斜面组成的系统为研究对象，很明显物块下滑过程中系统不受摩擦和介质阻力，故系统机械能守恒．又由斜面将向左运动，即斜面的机械能将增大，故物块的机械能一定将减少．
例与练
如下图所示，总长为L的光滑匀质的铁链，跨过一光滑的轻质小定滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时某一端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间，其速度多大？
解：铁链下滑过程机械能守恒。
初态机械能为：
末态机械能为：
根据机械能守恒 E1= E2
解得：
选初态重心所在平面为零势能面。
设单位长度的质量为 m0 则:
例与练
如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角=30，另一边与水平地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的细绳跨过定滑轮，两端分别与物体A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m。开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦，若A沿斜面下滑s距离时，细绳突然断了。求物体B上升的最大高度H。(B始终不与定滑轮相碰)
例与练
解析：从静止到绳断系统机械能守恒：
绳断后对B有：
如图所示，位于竖直平面内的轨道，由一段斜直轨道和圆形轨道分别与水平面相切连接而成，各接触面都是光滑的，圆形轨道的半径为 R。一质量为 m 的小物块从斜轨道上 A 点处由静止开始下滑，恰好通过圆形轨道最高点 D。物块通过轨道连接处 B、C 时无机械能损失。求：
⑴小物块通过圆形轨道最低点 C 时轨道对物块的支持力 N的大小
⑵A 点距水平面的高度 h.
例与练
解析：
⑴在D点依题意有：
物块从C点运动到D点过程中，机械能守恒，有：
由以上两式解得：
在C点有：
得：
得：
物块从A点运动到C点过程中，机械能守恒，有：
解得：
如图所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径R=0.5 m，轨道在C处与水平地面相切。在C处放一小物块，给它一水平向左的初速度v0=5 m/s,结果它沿CBA运动，通过A点，最后落在水平地面上的D点，求C、D间的距离s。取重力加速度g=10 m/s2。
答案:1 m
例与练
如图所示，光滑固定的竖直杆上套有一个质量m＝0.4 kg的小物块A，不可伸长的轻质细绳通过固定在墙壁上、大小可忽略的定滑轮D，连接小物块A和小物块B，虚线CD水平，间距d＝1.2 m，此时连接小物块A的细绳与竖直杆的夹角为370，小物块A恰能保持静止．现在在小物块B的下端挂一个小物块Q(未画出)，小物块A可从图示位置上升并恰好能到达C处．不计摩擦和空气阻力，cos370＝0.8、sin370＝0.6，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)小物块A到达C处时的加速度大小；
(2)小物块B的质量；
(3)小物块Q的质量．
例与练
解析：(1)当小物块A到达C处时，由受力分析可知：水平方向受力平衡，竖直方向只受重力作用，所以小物块A的加速度a＝g＝10 m/s2.
(2)设小物块B的质量为mB，绳子拉力为T；根据平衡条件：Tcos370＝mg
T＝mBg
联立解得mB＝0.5 kg.
（3）设小物块Q的质量为m0，根据系统机械能守恒得：
mghAC=(mB+m0)ghB
hAC=dcot370=1.6m
hB=(d/sin370)-d=0.8m
解得：m0=0.3kg
内壁及边缘光滑的半球形容器，半径为R，质量为M和m的两个小球用不可伸长的细线相连，现将M由静止从容器边缘内侧释放，如图所示，试计算M滑到容器底时，两者的速率各为多大？
解析：此过程系统机械能守恒，有：
解得：
例与练
如图可知：
如图所示，光滑圆柱被固定在水平平台上，用轻绳跨过圆柱体与两小球m1、m2相连(m1、m2分别为它们的质量)，开始时让m1放在平台上，两边绳绷直，两球从静止开始m1上升，m2下降，当m1上升到圆柱的最高点时，绳子突然断裂，发现m1恰能做平抛运动抛出．求m2应为m1的多少倍？
例与练
解析：m1与m2组成的系统机械能守恒由题意知：
动能增加量为：
重力势能改变量为：
到最高点绳子突然断裂，m1恰能做平抛运动抛出，有：
由以上各式解得：
如图所示，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为(m1+m3)的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？(已知重力加速度为g)
例与练
答案：
(2010 年上海卷)如图 ，ABC 和 ABD 为两个光滑固定轨道，A、B、E 在同一水平面，C、D、E 在同一竖直线上，D 点距水平面的高度为 h，C 点高度为 2h，一滑块从 A点以初速度 v0 分别沿两轨道滑行到 C 或 D 处后水平抛出．
(1)求滑块落到水平面时，落点与 E 点间的距离 sC 和 sD.
(2)为实现 sC＜sD，v0 应满足什么条件？
例与练
第四课时　功能关系　能的转化和守恒
一、功能关系
1、功能关系
功是能量转化的量度．即物体做了多少功就有多少能量发生转化，而且能的转化必须通过做功来实现．
2、功和能的几种表达形式
⑴功和动能的关系：所有外力对物体所做功的代数