专题一 直线运动
一、匀变速直线运动
1．定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动．
2．种类
(1)匀加速直线运动：物体的速度随时间均匀增加，加速度的方向与速度的方向相同．
(2)匀减速直线运动：物体的速度随时间均匀减小，加速度的方向与速度的方向相反．
v＝v0＋at
a T 2
中间
一半
1∶2∶3∶……∶n
1∶22∶32∶……∶n2
1∶3∶5∶……∶(2N－1)
gt
2gh
四、选择的原则与顺序
 
　　规律选择得是否恰当将直接影响到解题的难易程度和准确性。按方便、简洁、准确的原则，运动规律的选择顺序一般为：
 
相等相邻时间间隔：Δx＝x2－x1＝x3－x2＝……＝xn－xn－1＝

一般情况 ：平均速度关系式→基本公式

初速度为零的匀加速直线运动：比例公式→平均速度公式→一般公式
 
　　从左往右，优先程度逐渐降低。复杂的匀变速直线运动问题，可能需要将几组规律交叉使用。
a T 2
1．对基本公式的理解应用
(1)正负号的规定
匀变速直线运动的基本公式均是矢量式，应用时要注意各物理量的符号，一般情况下，我们规定初速度的方向为正方向，与初速度同向的物理量取正值，反向的物理量取负值，当v0＝0时，一般以a的方向为正．
(2)刹车问题
对匀减速直线运动，要注意减速为零后停止，加速度变为零的实际情况，如刹车问题，应首先判断给定时间内车是否已停止运动．
►　探究点一 匀变速直线运动规律的应用
(3)双向可逆类
如果物体先做匀减速直线运动，减速为零后又反向做匀加速直线运动，且全程加速度不变，对这种情况可以直接应用匀变速直线运动公式．
(4)逆向法
物体由某一速度匀减速到零的运动可以视为反向的初速度为零的匀加速直线运动．
2．对推论Δx＝aT 2的拓展
(1)公式的适用条件：
①匀变速直线运动；
②Δx为连续相等的时间间隔T内的位移差．
(2)进一步的推论：xm－xn＝(m－n)aT 2
要注意此式的适用条件及m、n、T的含义．
(3)此公式常用来研究打点计时器纸带上的加速度．
例：一个小球从距地面高度为 h的某点由静止开始落下，不计空气阻力，最后 1s通过的路程为的25m，则h的大小为多少？
变式训练
2．一个做匀加速直线运动的物体，连续通过两段长为L的位移所用的时间分别为t1、t2，求物体的加速度？
 
　　3．一个物体以一定的初速度做匀加速直线运动，第一个2s通过12m的位移，第四个2s通过72m，求：（1）物体的初速度；（2）物体的加速度；（3）物体在前8s内的位移。
4．一物体由静止开始做匀加速直线运动，在第49 s内位移是48．5m，,则它在第1s内、第60s内、前60s内的位移分别是多少？
 
　　5．一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，它在最初3s内的位移为x1，最后3s内的位移为x2，若x2-x1=6m，x1：x2=3：7，求斜面的长度为多少？
1．跳伞运动员做低空跳伞表演，直升机静止在离地面高度H＝224 m的空中，运动员离开飞机在竖直方向做自由落体运动，经过一段时间后，立即打开降落伞 ，展开伞后运动员以a＝12.5 m/s2的加速度在竖直方向上匀减速下降，若运动员落地时竖直方向的速度为v＝5 m/s(g取10 m/s2)，求：
(1)运动员展开伞时离地面的高度h.
(2)运动员在空中运动的时间t.
答案：(1)99 m　(2)8.6 s
2．物体以一定的初速度冲上固定的光滑的斜面， 到达斜面最高点C时速度恰为零，如图所示．已知 物体第一次运动到斜面长度3/4处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间．
[例2]　为了测定一辆电动汽车的加速性能，研究人员驾驶汽车沿平直公路从标杆O处由静止启动，依次经过A、B、C三处标杆，如图所示，已知AB间的距离为x1，BC间的距离为x2，测得汽车通过AB段与BC段所用的时间相等．将汽车的运动过程视为匀加速行驶，求标杆O与标杆A的距离．
[思路点拨]　本题应从题目阐述的运动过程中获取以下有用信息：“汽车自O点由静止出发”和“汽车通过AB段与BC段所用的时间相等”，画出运动过程示意图后合理选取运动过程．
3．(2012年滁州模拟)在竖直的井底，将一物块以11 m/s的速度竖直地向上抛出，物块冲过井口时被人接住，在被人接住前1 s内物块的位移是4 m，位移方向向上，不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)物块从抛出到被人接住所经历的时间；
(2)此竖直井的深度．
答案：(1)1.2 s　(2)6 m
4．(2012年合肥模拟)测速仪安装有超声波发射和接收装置，如图所示，B为测速仪，A为汽车，两者相距335 m，某时刻B发出超声波， 同时A由静止开始做匀加速直线运动．当B接收 到反射回来的超声波信号时，A、B相距355 m， 已知声速为340 m/s，则汽车的加速度大小为(　　)
A．20 m/s2 B．10 m/s2
C．5 m/s2 D．无法确定
答案：B
一、x－ t图象
1．x－t图象的意义
(1)物理意义：反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律．
(2)图线斜率的意义
①图线上某点切线的斜率的大小表示物体 ．
②图线上某点切线的斜率的正负表示物体 ．
2．两种特殊的x－t图象
(1)匀速直线运动的x－t图象是一条过原点的直线．
(2)若x－t图象是一条平行于时间轴的直线，则表示物体处于 状态．
速度的大小
速度的方向
静止
►　探究点二 运动图像的应用
二、v－t图象
1．v－t图象的意义
(1)物理意义：反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律．
(2)图线斜率的意义
①图线上某点切线的斜率的大小表示物体运动的 ．
②图线上某点切线的斜率的正负表示加速度的方向．
(3)图象与坐标轴围成的“面积”的意义
①图象与坐标轴围成的面积的数值表示相应时间内的 ．
②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为 ；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为 ．
加速度的大小
位移的大小
正方向
负方向
对运动图象的认识
(1)x－t图象和v－t图象中能反映的空间关系只有一维，因此x－t图象和v－t图象只能描述直线运动．
(2)两个物体的运动情况如果用x－t图象来描述，从图象可知两物体起始时刻的位置，如果用v－t图象来描述，则从图象中无法得到两物体起始时刻的位置关系．
运动图象的应用
1．应用图象解题的意义
(1)用图象解题可使解题过程简化，思路更清晰，而且比解析法更巧妙、更灵活．在有些情况下运用解析法可能无能为力，但是图象法则 会使你豁然开朗．
(2)利用图象描述物理过程更直观．物理过程可以用文字表述，也可以用数学式表达，还可以用物理图象描述．如果能够用物理图象描述，一般来说会更直观且容易理解．
2．运用图象解答物理问题的重要步骤
(1)认真审题，根据题中所需求解的物理量，结合相应的物理规律确定所需的横纵坐标表示的物理量．
(2)根据题意，找出两物理量的制约关系，结合具体的物理过程和相应的物理规律作出函数图象．
(3)由所作图象结合题意，运用函数图象进行表达、分析和推理，从而找出相应的变化规律，再结合相应的数学工具(即方程)求出相应的物理量．
1．A、B、C三质点同时同地沿一直线运动，其x－t图象如图所示，则在0～t0这段时间内，下列说法中正确的是(　　)
A．质点A的位移最大
B．质点C的平均速度最小
C．三个质点的位移相等
D．三个质点的平均速度一定不相等
解析： 由图象可知，三者在零时刻都是从x为零的点开始运动，在t0时刻三者都在x＝x0的位置，所以在0～t0这段时间内，三个质点的位移相等，三个质点的平均速度相等，故C正确，A、B、D均错．
答案：C
2．(2012年亳州模拟)如图所示，有一质点从t＝0时刻开始，由坐标原点出发沿v轴的方向运动，则以下说法不正确的是(　　)
A．t＝1 s时，离开原点的位移最大
B．t＝2 s时，离开原点的位移最大
C．t＝4 s时，质点回到原点
D．0到1 s与3 s到4 s的加速度相同
解析：根据v－t图象在各阶段为直线，可知质点在各阶段均做匀变速直线运动：在0～1 s内沿正方向的速度不断增加，故做初速度为零的匀加速直线运动；在1 s～2 s内沿正方向做匀减速直线运动，2 s时离原点最远，A错、B对；在2 s～3 s内沿负方向做匀加速直线运动；在3 s～4 s内沿v负方向做匀减速直线运动，4 s时回到原点，C对：在0～1 s和3 s～4 s内加速度大小和方向均相同，D正确．故选A.
答案：A
3．如图所示为甲、乙两物体相对于同一坐标的x－t图象，则下列说法正确的是(　　)
①甲、乙均做匀变速直线运动
②甲比乙早出发时间t0
③甲、乙运动的出发点相距x0
④甲的速率大于乙的速度
A．①②③ B．①④
C．②③ D．②③④
解析：图象是x－t图线，甲、乙均做匀速直线运动，①错；乙与横坐标的交点表示甲比乙早出发时间t0， ②对；甲与纵坐标的交点表示甲、乙运动的出发点相距x0，③对；甲、乙运动的速率用图线的斜率的绝对值表示，由图可知甲的速率小于乙的速率，④错．故选C.
答案：C
[例1]　(2012年合肥模拟)如图为质量相等的两个质点A、B在同一直线上运动的v－t图象．由图可知下列说法不正确的是(　　)
A．在t时刻两个质点在同一位置
B．在t时刻两个质点速度相等
C．在0～t时间内质点B比质点A位移大
D．在0～t时间内合外力对两个质点做功相等
[思路点拨]　解答本题应把握以下几点：
(1)两图象的交点处的意义，面积的意义．
(2)两质点的初始位置不一定在同一位置．
[自主解答]　根据v－t图的意义可知t时刻AB两质点的速度相等，B项正确．再结合动能定理可知D项正确．v－t图中的面积表示对应时间内的位移的大小， 由图可知0～t时间内质点B比质点A的位移大， C项正确．由于两质点的初始位置不确定，故不能确定t时刻两质点的位置，故A选项错误．
[答案]　A
1.(2012年铜陵模拟)如图所示，表示一物体在0～4 s 内做匀变速直线运动的v－t图象．根据图象，以下几 种说法正确的是(　　)
A．物体始终沿正方向运动
B．物体先向负方向运动，在t＝2 s后开始向正方向运动
C．在t＝2 s前物体加速度为负方向，在t＝2 s后加速度为正方向
D．在t＝2 s前物体位于出发点负方向上，在t＝2 s后位于出发点正方向上
解析：物体在0～2 s时间内速度为负值，表明物体沿负方向运动，而在2 s～4 s时间内沿正方向运动，故A错误，B正确；因图线的斜率始终为正值，故加速度的方向不变，C错误；物体在前2 s沿负方向运动，而后2 s沿正方向运动，4 s末恰好回到出发点，没有出现在出发点的正方向上，D错误.
答案：B
[例2]　在一条宽马路上某处有A、B两车，它们同时 开始运动，取开始时刻为计时零点，它们的运动图象 如图所示，那么在0～t4时间内的情景是(　　)
A．A车在0～t1时间内做加速直线运动，在t1时刻改变运动方向
B．在t2时刻A车速度为零，然后反向运动，此时两车相距最远
C．在t4时刻，A车追上B车
D．在t4时刻，两车相距最远
[思路点拨]　解答本题时应注意以下两点：
(1)在v－t图象上速度的符号发生变化，速度的方向就改变．
(2)两车的速度同向且相等时，两车相距最远．
[自主解答]　由图象可知，A车在0～t2时间内向规定的负方向运动，选项A错误；
0～t2时间内A、B两车背向运动，它们的距离越来越大，t2～t4时间内A车追赶B车，它们间的距离仍然越来越大，在t4时刻二者速度相等，此时A、B两车距离最大，选项B、C错误，D正确．
[答案]　D
2．(2012年合肥模拟)物体A、B的x－t图象如图 所示，由图可知(　　)
A．从第3 s起，两物体运动方向相同，且vA>vB
B．两物体由同一位置开始运动，但物体A比B迟3 s才开始运动
C．在5 s内物体的位移相同，5 s末A、B相遇
D．5 s内A、B的平均速度相等
解析：x－t图象的斜率的大小表示物体运动的速度大小，斜率的正负表示物体运动的方向，由题图可知，A对；B物体的出发点在离原点5 m处，A物体的出发点在原点处，B错；物体B在5 s内的位移为10 m－5 m＝5 m，物体A在3 s～5 s内的位移为10 m，故C、D均错．
答案：A
1．讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置问题．
(1)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画草图得到．
(2)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．
2．常见的情况
物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0.
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB.
(2)要使两物体恰好不相撞，必有xA－xB＝x0，且vA≤vB.
►　探究点三 追及、相遇问题
3．解题思路和方法
(1)在解决追及、相遇类问题时，要紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式，最后还要注意对结果的讨论分析．
(2)分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．
[例3]　甲车以10 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4 m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动，甲车经过乙车旁边开始以0.5 m/s2的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求：
(1)乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离；
(2)乙车追上甲车所用的时间．
[思路点拨]　分析运动过程，运用位移关系和时间关系列方程，并结合运动学公式求解，注意两车相距最大距离以及乙车追上甲车时的临界条件．
[答案]　(1)36 m　(2)25 s
3．A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶．当B车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零．A车一直以20 m/s的速度做匀速运动．经过12 s后两车相遇．问B车加速行驶的时间是多少？
答案：6 s
3．(2011年高考福建理综卷)如图甲所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率v1运行．初速度大小为v2的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带．若从小物块滑上传送带开始计时，小物块在传送带上运动的v－t图象(以地面为参考系)如图乙所示．已知v2>v1，则(　　)
A．t2时刻，小物块离A处的距离达到最大
B．t2时刻，小物块相对传送带滑动的距离达到最大
C．0～t2时间内，小物块受到的摩擦力方向先向右后向左
D．0～t3时间内，小物块始终受到大小不变的摩擦力作用
解析：相对地面而言，小物块在0～t1时间内，向左做匀减速运动，t1～t2时间内，又反向向右做匀加速运动，当其速度与传送带速度相同时(即t2时刻)，小物块向右做匀速运动．故小物块在t1时刻离A处距离最大，A错误．相对传送带而言，在0～t2时间内，小物块一直相对传送带向左运动，故一直受向右的滑动摩擦力，在t2～t3时间内，小物块相对于传送带静止，小物块不受摩擦力作用，因此t2时刻小物块相对传送带滑动的距离达到最大值，B正确，C、D均错误．
答案：B
4．(2012年芜湖模拟)猎狗能以最大速度v1＝10 m/s持续地奔跑，野兔只能以最大速度v2＝8 m/s的速度持续奔跑．一只野兔在离洞窟x1＝200 m处的草地上玩耍，被猎狗发现后径直朝野兔追来．野兔发现猎狗时，与猎狗相距x2＝60 m，野兔立即掉头跑向洞窟，设猎狗、野兔、洞窟总在同一直线上，求：野兔的加速度至少要多大才能保证安全回到洞窟．
答案：4 m/s2
5.（2007全国）甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9m/s的速度跑完全程：乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，甲在接力区前S0 = 13.5m处作了标记，并以V=9m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棱。已知接力区的长度为L = 20m。
求：（1）此次练习中乙在接棒前的加速度a。
（2）在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。
4．一辆汽车由静止开始出发，要在200 s时间内追上前面1 500 m处正以10 m/s的速度同向匀速前进的自行车，已知这辆汽车的最大速度为20 m/s，那么汽车匀加速行驶的加速度至少是多少？
答案：0.4 m/s2