3．2　古典概型
3.2.3(整数值)随机数的产生
概率
1．了解随机数的概念．
2．利用计算机或计算器产生随机数，并能直接统计出频数与频率．
3．学会利用随机数解决与概率相关问题．
基础梳理
1．随机数产生的背景
随机试验花费大量的人力物力，需要一种新的便捷方法，这样就产生了用计算器产生你指定的两个整数之间的取整数的随机数．
2．随机数的产生方法
如果我们把25个大小形状完全相同的小球分别标上1,2,3，…，24,25，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为________．这样我们就可以得到1到25间的 ________ ．由于小球大小形状完全相同，因而每个球被摸出都是等可能的．因而每个随机数的产生都是等可能的．
随机整数
随机数
例如：我们从全班50名学生中抽取8名学生进行对看足球比赛的喜爱程度的调查时，我们可以把50个分别标有1,2，…，49,50的大小形状完全相同的小球，放入一个袋中，从中抽取8个，就相应地对这8名学生进行调查(抽取前先把全班同学编号)，这实际上就是简单随机抽样中的“________”．
3．伪随机数的产生方法
计算机或计算器产生的随机数是依照确定的算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质．计算机产生的并不是真正的随机数，我们称它们为________．随机数表就是用计算机产生的随机数表格．随机数表中每个位置上出现哪一个数字是等可能的．
例：抽签法 3．伪随机数
4．随机模拟法
我们称____________________的方法为随机模拟方法．该方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生物、生态学、社会学以及经济行为等领域中都得到了广泛的应用．
5．计算器和计算机产生随机数的方法
用计算器的随机函数RANDI (a，b)或计算机的随机函数RANDBETWEEN (a，b)可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．
用计算机或计算器模拟试验
例如：用计算器产生1到25之间的取整数值的随机数，方法如下：　　

……
反复按ENTER键，就可以不断地产生(1,25)之间的随机数．
思考应用
1．随机数产生的方法有哪些？有哪些优点和缺点？
解析：可以由实验产生随机数，这个方法就是简单随机抽样中的抽签法．这种做法的优点是产生的随机数是真正的随机数，缺点是当需要的随机数的量很大时，速度太慢．
2．伪随机数产生的方法有哪些？有哪些优点和缺点？
解析：可由计算机或计算器产生，随机数表就是由计算机产生的随机数表格．它的优点是速度较快，适用于产生大量的随机数．但由计算机或计算器产生不是真正的随机数，称为伪随机数．
3．利用计算器或计算机产生随机数有何作用？
解析：利用计算器或计算机产生随机数的作用，主要用于随机模拟试验，在日常生活中有着广泛的应用．对非古典概率模型问题，可用随机模拟方法处理．
自测自评
1．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是(　 　)
2．先后抛掷一枚硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是(　　 )
B
D
3.从含有3个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是（）
4．有3张奖券，其中2张可中奖，现3个人按顺序依次从中抽一张，小明最后抽，则他抽到中奖券的概率是(　　)
D
C
利用随机模拟试验估计古典概型的概概率
同时抛掷两枚骰子，计算都是1点的概率．
解析：抛掷两枚骰子，相当于产生两个1到6的随机数，因而我们可以利用计算器或计算机产生1到6之间的取整数值的随机数，两个随机数作为一组，每组第一个数表示第一枚骰子的点数，第二个数表示第二枚骰子的点数．
统计随机数总组数N及其中两个随机数都是1的组数N1，则频率 即为投掷两枚骰子都是1点的概率的近似值．
跟踪训练
1．抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率．
利用随机模拟试验估计非古典概型的概率
天气预报说，在今后的三天里，每一天下雨的概率均为40%，这三天中恰有两天下雨的概率是多少？
解析：解决这类问题的关键环节是概率模型的设计，这里试验出现的可能结果是有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，不能用古典概型来求概率，我们考虑用计算器或计算机来模拟下雨出现的概率为40%，方法很多．
例如，我们可以产生0～9之间的整数值随机数，用0～3表示下雨，用4～9表示不下雨，这样就体现了下雨的概率为40%，让计算机连续产生三个这样的随机数作为一组模拟三天的下雨情况，如021表示三天都下雨，109表示前两天下雨，第三天不下雨，产生一组这样的随机数就表示做了一次试验，然后用N统计试验次数，用N1统计数组中恰有两个在0～3之间的次数，则 为频率，由此可估计概率．
下面是用Excel软件模拟的结果：
其中A，B，C三列是模拟三天的试验结果，例如第一行前三列为888，表示三天均不下雨．
统计试验的结果．D，E，F列为统计结果．其中D列表示如果三天中恰有两天下雨，则D为1，否则D为0，其公式为“＝IF(OR(AND(A1＜4，B1＜4，C1＞3)，AND(A1＜4，B1＞3，C1＜4)，AND(A1＞3，B1＜4，C1＜4,1,0)”
E1表示30次试验中恰两天下雨的次数，其公式为“＝SUM( )”，F1表示30次试验中恰有两天下雨的频率，其公式为“＝E1/30”．
跟踪训练
2．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是________．
随机模拟试验及应用
某蓝球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，用随机模拟方法计算在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率．
分析：用计算机或计算器做模拟试验可以模拟每次投篮命中的概率．因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组．
解析：步骤是：
(1)用1,2,3,4表示投中，用5,6,7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%.
(2)利用计算机或计算器产生0到9之间的整数随机数，然后三个整数随机数作为一组分组．每组第1个数表示第1次投篮，第2个数表示第2次投篮，第3个数表示第3次投篮.3个随机数作为一组共组成n组数．
(3)统计这n组数中恰有两个数字在1,2,3,4中的组数m.
故三次投篮中恰有两次投中的概率近似为 .
跟踪训练
3．利用计算器产生10个1到20之间的取整数值的随机数．
古典概率模型的综合问题
有编号为A1，A2，…A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：
其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．
(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
(2)从一等品零件中，随机抽取2个．
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2个零件直径相等的概率．
(2)①一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6，从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}共有15种．
②“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．
所以
跟踪训练
4．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
(3)已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．
解析：
(2)初三年级人数为y＋z＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：
(3)设初三年级女生比男生多的事件为A，初三年级女生男生数记为(y，z)；
由(2)知y＋z＝500，且y，z∈N＋，基本事件空间包含的基本事件有：(245,255)、(246,254)、(247,253)、……(255,245)共11个．
事件A包含的基本事件有：(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,245) 共5个，即
1．利用计算器或计算机可以产生取整数值的随机数，这样的随机数可以用来进行随机抽样，排序和随机模拟试验；
(1)利用随机数可以快速产生随机抽样中需要抽取的样品的号码；
(2)利用随机数产生需要排序的样品的序号，然后可以按照序号由小到大排列；
(3)用整数随机数模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个数代表哪个试验结果，①试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表每一个基本事件；②研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及范围．
2．在随机数的产生和随机模拟的学习中，要充分利用信息技术动手实践进行模拟活动，有条件的可用统计软件，统计模拟实验的结果，画出随机试验次数增加的频率的折线图等统计图，从中体会频率在概率附近波动、稳定在概率上．学习用随机模拟方法近似求事件的概率，条件不具备的可以用计算器等其它简便易行的方法，进行简单的模拟试验，统计试验结果，并计算频率估计概率，从中领会概率的意义和统计思想．
3．用计算机或计算器产生的随机数为伪随机数，由于它的周期很长，在实际应用中产生的误差很小可忽略不计，故常用这种方法模拟试验，主要是它应用方便，这种用计算机或计算器模拟的方法称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法，应用这种方法估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果，试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数字代表一个基本事件；研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数．
祝
您
学业有成