第二章 统计复习
人教A版必修③
本章回顾
本章介绍了从总体中抽取样本的常用方法，并通过实例，研究了如何利用样本对总体的分布规律、整体水平、稳定程度及相关关系等特性进行估计和预测．
总体
抽样
分析
估计
简单随机抽样
系 统 抽 样
分 层 抽 样
样 本 分 布
样 本 特 征 数
总 体 分 布
总 体 特 征 数
当总体容量大或检测具有一定的破坏性时，可以从总体中抽取适当的样本，通过对样本的分析、研究，得到对总体的估计，这就是统计分析的基本过程．而用样本估计总体就是统计思想的本质．
要准确估计总体，必须合理地选择样本，我们学习的是最常用的三种抽样方法．获取样本数据后，将其用频率分布表、频率直方图、频率折线图或茎叶图表示后，蕴含于数据之中的规律得到直观的揭示．运用样本的平均数可以对总体水平作出估计，用样本的极差、方差（标准差）可以估计总体的稳定程度．
对两个变量的样本数据进行相关性分析，可发现存在于现实世界中的回归现象．用最小二乘法研究回归现象，得到的线性回归方程可用于预测和估计，为决策提供依据．
总之，统计的基本思想是从样本数据中发现统计规律，实现对总体的估计．
说明：
1.抽样公平性原则—等概率—随机性；
2.抽签法适用与总体中个数N不大的情形.
1.将总体中的所有个体编号（号码可以从１到 Ｎ）；
2.将１到Ｎ 这Ｎ 个号码写在形状、大小相同的号签上
（号签可以用小球、卡片、纸条等制作）；
3.将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；
4.从箱中每次抽出１个号签，并记录其编号，连续抽取ｋ次；
5.从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出.
2.1 抽样方法
1.简单随机抽样
（１）抽签法
例题——1 系统抽样（等距抽样）
例子. 为了解高一年级500名同学的视力情况，试用系统抽样从中抽取50名同学进行检查。
S1：把500人从1到500编号；
S3：在第一段1~10号中用的 的方法
抽取一个号码，比如3；
S4：依次抽取 ……这50个号码。
这样就得到了一个容量为50的样本。
S2：计算分段间隔为 k= 人。把编号从小
到大依次分成 段，每段 人；
编号
分段
定首号
取余号
50
10
简单随机抽样
3，13，23，33，
2.1 抽样方法
（2）.随机数表法：
将总体中的N个个体编号时可以从0开始，例如当N=100时，
编号可以是00,01,02, …,99.这样，总体中的所有个体均可用两位
数字号码表示，便于使用随机数表．
当随机地选定开始的数后，读数的方向可以向右，也可以向
左、向上、向下等．由此可见，用随机数表法抽取样本的步骤是：
（１）对总体中的个体进行编号（每个号码位数一致）；
（２）在随机数表中任选一个数作为开始；
（３）从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的数码
若不在编号中，则跳过；若在编号中，则取出；如果得到
的号码前面已经取出，也跳过；如此继续下去，直到取满
为止；
（４）根据选定的号码抽取样本．
将总体中的N个个体编号时可以从0开始，例如当N=100时，
编号可以是00,01,02, …,99.这样，总体中的所有个体均可用两位
数字号码表示，便于使用随机数表．
当随机地选定开始的数后，读数的方向可以向右，也可以向
左、向上、向下等．由此可见，用随机数表法抽取样本的步骤是：
（１）对总体中的个体进行编号（每个号码位数一致）；
（２）在随机数表中任选一个数作为开始；
（３）从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的数码
若不在编号中，则跳过；若在编号中，则取出；如果得到
的号码前面已经取出，也跳过；如此继续下去，直到取满
为止；
（４）根据选定的号码抽取样本．
例子：
下面我们用随机数表法求解本节开头的问题．
（１）对50个同学进行编号，编号分别为01，02，03，…，50；
（２）在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如第８行第29列的数７开始．为便于说明，我们将附表中的第６行至第１０行摘录如下：
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
第29列
第８行
（３）从数７开始向右读下去，每次读两位，凡不在01到50中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去，便可依次得到
12,07,44,39,38,33,21,34,29,42
这10个号码，就是所要抽取的10个样本个体的号码．
小结：
1.抽样无放回；
2.抽样公平性；
3.抽签法，随机数表法—简单的随机抽样.
系统抽样的步骤为：
（１）采用随机的方式将总体中的个体编号；
（２）将整个的编号按一定的间隔（设为k）分段，当 （N为总体中的个体数，n为样本容量）是整数时，k= ；当 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数Ｎ′能被ｎ 整除，这时k= ，并将剩下的总体重新编号；
（３）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l ；
（４）将编号为l ， l +k，l +2k，…， l +(n-1)k的个体抽出．
2.系统抽样：
第四步　将编号为
, +10, +20, …, +610 的个体抽出，组成样本．
第三步　在第一段000，001，002，…，009这十个编号中用简单随机抽样确定起始号码 ；
因为624的10％约为62，624不能被62整除，为了保证“等距”分段，应先剔除４人．
例； 某单位在岗职工共624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定抽取10％的工人进行调查．如何采用系统抽样方法完成这一抽样？
分析:
第一步　将624名职工用随机方式进行编号；
解：
第二步　从总体中剔除４人（剔除方法可用随机数表法），将剩下的620名职工重新编号（分别为000，001，002，…，619），并分成62段；
小结：
1.适用与总体中个体无明显的层次差异；
2.系统抽样—等距抽样.
一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样（stratified sampling），其中所分成的各个部分称为“层”．
分层抽样的步骤是：
（１）将总体按一定标准分层；
（２）计算各层的个体数与总体的个体数的比；
（３）按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；
（４）在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）．
3.分层抽样
例　某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为1200人，其中持各种态度的人数如下表所示：
电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？
分析：因为总体中人数较多，所以不宜采用简单随机抽样．又由于持不同态度的人数差异较大，故也不宜用系统抽样方法，而以分层抽样为妥．
说明：
1.适用与总体中个体有明显的层次差异，层次
分明的特点；
2.总体中个体数 N较大时，系统抽样，分层抽样
二者选其一.
以上我们学习了三种抽样方法，这些抽样方法的特点及适用范围可归纳如下：
1.现有以下两项调查：①某装订厂平均每
小时大约装订图书362册，要求检验员每
小时抽取40册图书, 检查其装订质量状况；
②某市有大型、中型与小型的商店共1500
家, 三者数量之比为1∶5∶9．为了调查全
市商店每日零售额情况，抽取其中15家进
行调查. 完成①、②这两项调查宜采用的
抽样方法依次是 ( )
A、简单随机抽样法，分层抽样法
B、分层抽样法，简单随机抽样法
C、分层抽样法，系统抽样法
D、系统抽样法，分层抽样法
D
2.要从已编号（1～60）的60枚最新
研制的某型导弹中随机抽取6枚来进
行发射试验, 用每部分选取的号码间
隔一样的系统抽样方法确定所选取
的6枚导弹的编号可能是 （ ）
A．5，10，15，20，25，30
B．3，13，23，33，43，53
C．1，2，3，4，5，6
D．2，8，14，20，26，32
B
3.某校有行政人员、教学人员和教辅
人员共200人，其中教学人员与教辅
人员的比为101，行政人员有24人，
现采取分层抽样容量为50的样本，那
么行政人员应抽取的人数为 ( )
A 3 B 4 C 6 D 8
C
教学人员和教辅人员应抽取的人数
分别为_____和_____.
40
4
用样本估计总体
1.作样本频率分布直方图的步骤：
（1）求极差；
（2）决定组距与组数; (组数＝极差/组距)
（3）将数据分组；
（4）列频率分布表（分组，频数，频率）；
（5）画频率分布直方图。
例子： 2009年义乌小商品博览会共设国际标准展位5000个。为了解展览期间成交状况，现从中抽取100展位的成交额（万元），制成如下频率分布表和频率分布直方图：
1
5
36
50
0.50
0.05
100
频率/组距
0.002
150 170 190 210 230 250
万元
0.36
0.002
0.0025
0.018
0.025
0.0025
例子： 2009年义乌小商品博览会共设国际标准展位5000个。为了解展览期间成交状况，现从中抽取若干展位的成交额（万元），制成如下频率分布表和频率分布直方图：
频率/组距
0.002
150 170 190 210 230 250
万元
（2）中位数；
（3）平均数；
最高矩形区间中点
面积相等（概率0.5）
区间中点与相应概率之积的和
220万元
212万元
209.4万元
小结：
1.频率直方图中矩形条的面积=
组距=频率；
2.频率分布表 频率直方图 后者更直观
形象地反映样本的分布规律.
2.3 总体特征数的估计
1.平均数
2.方差，标准差
设一组样本数据 ,其平均数为 ，则称
为这个样本的方差，其算术平方根
为样本的标准差,分别简称样本方差、样本标准差．
小结：
1.方差，标准差是用来刻画样本的稳定性；
2.比较的标准——越小越好。
例：甲、乙两种冬水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2 ），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．
11.69
7.小王记录了产量x（吨）和能耗y（吨标准煤）对应的四组数据，用最小二乘法求出了 ，不慎将一滴墨水滴于表内，表中第二行第四列的数据已无法看清，据您判断这个数据应该是多少？
思考：您如何判断 x 与 y 成线性相关关系？
思考：您认为小王求出的线性回归直线方程对吗？
思考：如果原来100吨产品的能耗为90吨煤；试预测现在的能耗比技术改造前降低了多少吨煤？
解：
由系数公式可知，
C
4.三点(3,10),(7,20),(11,24)的
线性回归方程是 ( )
D