第54讲 随机抽样
第55讲 用样本估计总体
第56讲 变量的相关性、统计案例
目 录
统计、统计案例复习课
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单元网络
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核心导语
一、统计
1．使用范围——随机抽样的三种方法的区别．
2．两个图——茎叶图与频率分布直方图的使用．
3．数字特征——平均数、中位数、众数、方差、标准差的计算．
二、统计案例
1．两类关系——函数关系与相关关系．
2．回归直线——最小二乘法的应用．
3．列联表——K2的观测值与临界值的比较.
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1．编写意图
本单元内容由教材中必修3第二章《统计》和选修2－3第三章“统计案例”部分整合而成．本单元内容与生产生活实际结合较为紧密，特别是统计与统计案例，数据多，公式多，要求考生有较强的数据处理能力，公式一般不需要记忆，考试时会给出公式．根据考试说明和高考对本单元考查的实际情况，本单元在编写时注意到以下几点：
(1)注意了基础知识的全面性和系统性．
(2)注意了统计方法的讲解，编写中把各种统计方法的使用放在首位．
(3)把握基本题型．对各种基本题型进行了详细简述，目的是帮助学生构建知识体系，能针对不同的概率类型灵活选择相应的方法和公式．
(4)注意了高考的发展趋势，重点关注概率与统计相结合的解答题的训练．
使用建议
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2．教学指导
在复习过程中，要注意以下几个方面：
(1)强化概念的教学，本单元概念较多，引导学生结合具体题目，仔细体会概念的含义，通过适当练习，学会如何使用概念解题．
(2)统计图表是统计中的主要工具，教学中要使学生学会从图表中提取有关的数据信息、进行统计推断的方法．
(3)加强运算能力的培养，统计的数字计算较繁，要求学生培养良好的运算习惯，通过统计的复习提高运算能力．
使用建议
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3．课时安排
本单元包括3讲和1个45分钟滚动基础训练卷，第56讲分两个课时使用，另两讲和45分钟滚动基础训练卷各用1课时，共需5课时完成．
使用建议
第54讲 随机抽样
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1．理解随机抽样的必要性和重要性．
2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样方法．
考试大纲
第54讲 随机抽样
—— 知 识 梳 理 ——
　　一、总体、个体、样本
在统计里，把所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看成________，其中构成总体的每一个考察的对象为________．从总体中随机抽取若干个个体构成的集合叫做总体的一个________，样本中包含的个体数目叫做________．
二、随机抽样
抽样时保持每一个个体都可能被抽到，每一个个体被抽到的机会是________，满足这样条件的抽样是________．
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样本容量
总体
个体
样本
随机抽样
均等的
第54讲 随机抽样
三、简单随机抽样
1．定义：设一个总体含有N个个体，从中__________地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的_____________，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
2．最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．
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机会都相等
逐个不放回
第54讲 随机抽样
四、系统抽样
1．定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体_________________，然后按照____________________，从每一部分抽取1个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．
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事先定出的规则
分成均衡的几个部分
第54讲 随机抽样

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第54讲 随机抽样
五、分层抽样
1．定义：在抽样时，将总体分成_______________，然后按照一定的________，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法就叫做分层抽样．
2．分层抽样的操作步骤：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本．
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比例
互不交叉的层
第54讲 随机抽样
六、三种抽样方法的区别与联系
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—— 疑 难 辨 析 ——
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第54讲 随机抽样
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第54讲 随机抽样
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第54讲 随机抽样
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第54讲 随机抽样
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第54讲 随机抽样
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第54讲 随机抽样
说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题，示例均选自2008年～2012年安徽卷．
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第54讲 随机抽样
►　探究点一　简单随机抽样
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第54讲 随机抽样
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第54讲 随机抽样
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第54讲 随机抽样
[点评] 总体的个数较少，利用随机数表法或抽签法可容易获得样本；随机数表法的操作要点：编号、选起始数、读数、获取样本；抽签法的操作要点：编号、制签、搅匀、抽取．
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第54讲 随机抽样
归纳总结　简单随机抽样关键是掌握操作步骤：随机数表法的操作要点：编号、选起始数、读数、获取样本；抽签法的操作要点：编号、制签、搅匀、抽取．
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第54讲 随机抽样
►　探究点二　系统抽样
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第54讲 随机抽样

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第54讲 随机抽样
[点评] 一般地，系统抽样是等距离抽样，若第一组抽取号码a，然后以d为间距依次等距离抽取后面的编号，抽出的所有号码为a＋dk(k＝0，1，2，…，n－1)，其中n是组数．值得注意的是，并不是所有的系统抽样都是等距离抽样，这要看所给的抽样规则，如下面变式题：
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第54讲 随机抽样
归纳总结 系统抽样又称为等距抽样，号码序列一确定，样本就确定了，但有时也不是按一定间隔抽取的．应用系统抽样方法抽样时，要注意其一般步骤．
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第54讲 随机抽样
►　探究点三　分层抽样
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第54讲 随机抽样
[点评] 分层抽样解题的关键是抽取比例，比例确定之后，各层以同一比例抽取样本，这样就保证了各个个体被抽取的机会均等；在求解的过程中，要注意比例的性质、解方程的方法的应用．
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第54讲 随机抽样
归纳总结　应用分层抽样应遵循的两点：
①分层，将相似的个体归为一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即不重复不遗漏．
②分层保证每个个体等可能被抽取，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等．
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第54讲 随机抽样
►　探究点四 三种抽样方法的综合
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第54讲 随机抽样
[点评] 三种抽样方法的共同点都是等概率不放回抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是 .
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第54讲 随机抽样
归纳总结　三种抽样方法中简单随机抽样是最基本的抽样方法，是其他两种方法的基础，适用范围不同，要根据总体的具体情况选用不同的方法；它们的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽取的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性，若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种方法抽样时，每一个个体被抽到的概率都是 .
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第54讲 随机抽样
易错究源　20　三种抽样方法相混致误
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第54讲 随机抽样
【备选理由】
　　例题中涉及三种抽样方法，用以巩固学生所学知识、熟练掌握方法，为探究点四的补充．
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第55讲 用样本估计总体
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1．了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．
2．理解样本数据平均数和标准差的意义和作用，会计算数据平均数和标准差，知道平均数和标准差是样本数据基本的数字特征．
3．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．
4．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题．
考试大纲
第55讲 用样本估计总体
—— 知 识 梳 理 ——
　　一、用样本的频率分布估计总体分布
1．样本中所有数据(或者数据组)的频数和样本容量的比，就是该数据的________，所有数据(或者数据组)的频率的分布变化规律叫做________，可以用频率分布表、_____________、频率分布折线图、茎叶图等来表示．
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频率
频率分布
频率分布直方图
第55讲 用样本估计总体
2．作频率分布直方图的步骤：(1)求极差，即一组数据中________与________的差；(2)决定____________；(3)将数据________；(4)列_____________；(5)画频率分布直方图．
在频率分布直方图中，纵轴表示 ，数据落在各小组内的频率用各小长方形的________表示，各小长方形的面积的总和________．
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分组
等于1
最小值
组距与组数
最大值
频率分布表
面积
第55讲 用样本估计总体
3．总体密度曲线
(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的________，就得到频率分布折线图；
(2)总体密度曲线：如果样本容量不断增大，作图所分的________增加，________减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条________，统计中称这条________为总体密度曲线．
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中点
光滑曲线
组距
光滑曲线
组数
第55讲 用样本估计总体
4．茎叶图：统计中还有一种被用来表示数据的图叫茎叶图，茎是指中间的________，叶是从茎的旁边______________．
在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，茎叶图表示数据有两个突出的优点：一是它较好地保留了________信息，二是能够展示数据的________情况，方便记录与表示．
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一列数
分布
原始数据
生长出来的数
第55讲 用样本估计总体
二、样本的数字特征
1．众数：一组数据中出现______最多的数据叫做众数．
2．中位数：将一组数据从小到大(或从大到小)依次排列，把______数据(或______________的平均数)叫做中位数，中位数把样本数据分成了相同数目的两部分．
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次数
中间
中间两数据
第55讲 用样本估计总体
3．平均数：x1，x2，…，xn的平均数 ＝

__________________________.
由于众数仅能刻画某一数据出现的次数较多，中位数对极端值不敏感，而平均数又受极端值左右，因此这些因素制约了仅依赖这些数字特征来估计总体数字特征的准确性．
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第55讲 用样本估计总体
4．标准差与方差
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．

s＝______________________________________________.
标准差的平方s2叫做方差，

s2＝____________________________________________，
其中xn是__________，n是__________， 是________．
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第n个数
样本容量
平均数
—— 疑 难 辨 析 ——
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第55讲 用样本估计总体
说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题，示例均选自2008年～2012年安徽卷．
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第55讲 用样本估计总体
►　探究点一　利用样本的频率分布估计总体分布
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第55讲 用样本估计总体

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第55讲 用样本估计总体
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第55讲 用样本估计总体
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第55讲 用样本估计总体
[点评] 解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的联系，这些数据中，比较明显的有组距、 ，间接的有频率、小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形面积＝组距×
＝频率，小长方形面积之和等于1，即频率之和等于1，就可以解决直方图的有关问题．
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第55讲 用样本估计总体

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第55讲 用样本估计总体
►　探究点二　茎叶图在数据处理中的应用
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第55讲 用样本估计总体

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第55讲 用样本估计总体

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第55讲 用样本估计总体
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第55讲 用样本估计总体
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第55讲 用样本估计总体
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第55讲 用样本估计总体
[点评] 茎叶图在样本数据较少，较为集中且数据位数不多时比较适用，它可以直观展示数据的分布情况，若样本数据较多时，枝叶会很长不方便记录，则此方法不实用；由于它的数据都是原始信息，解决由茎叶图给出的统计图表试题时，要充分使用这个图表提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断，可以分析样本数据的大致频率分布以及样本数据的一些数字特征．
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第55讲 用样本估计总体
归纳总结　茎叶图刻画数据的优点：
①所有数据信息都可在茎叶图中看到．
②茎叶图便于记录和表示，且能够展示数据的分布情况．
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第55讲 用样本估计总体
►　探究点三　利用样本数字特征估计总体的数字特征
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第55讲 用样本估计总体
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第55讲 用样本估计总体
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第55讲 用样本估计总体
[点评] 现实中总体所包含的个体数往往较多，通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差；平均数反映样本的总体水平，方差刻画了这组数据波动的大小，方差越大，说明这组数据的波动越大，即这组数据越分散；讨论成绩高低、产品质量、售价高低、技术高低、产量高低、寿命长短等问题，一般都是通过方差来体现．
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第55讲 用样本估计总体
归纳总结　利用频率分布直方图估计样本的数字特征：
①中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可估计中位数的值．
②平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
③众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形的中点的横坐标．
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第55讲 用样本估计总体
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第55讲 用样本估计总体
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第55讲 用样本估计总体
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第55讲 用样本估计总体
答题模板　12 准确使用统计的基本思想解释实际应用问题
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第55讲 用样本估计总体
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第55讲 用样本估计总体
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第55讲 用样本估计总体
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第55讲 用样本估计总体
[方法解读] 平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小；统计的基本思想是用样本估计总体，平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，可以根据样本的情况去估计总体的相应情况．
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第55讲 用样本估计总体
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第55讲 用样本估计总体
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第55讲 用样本估计总体
【备选理由】
　　例1综合了平均数、中位数、众数，可训练学生这几种特征数的交汇及分类讨论；例2为统计在实际中的应用．
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第55讲 用样本估计总体
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第55讲 用样本估计总体
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第55讲 用样本估计总体
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第55讲 用样本估计总体
第56讲 变量的相关性、统计案例
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1．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．
2．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．
考试大纲
第56讲 变量的相关性、统计案例
—— 知 识 梳 理 ——
　　一、变量间的相关关系
1．常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是____________；与函数关系不同，________是一种非确定性关系．
2．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为________，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为________．
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正相关
相关关系
负相关
相关关系
第56讲 变量的相关性、统计案例
二、回归分析
对具有________的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析．其基本步骤是：(1)画散点图，(2)求_______________，(3)用回归直线方程作预报．
1．回归直线：观察散点图的特征，如果散点图中点的分布从整体上看大致在________附近，我们就称这两个变量之间具有________关系，这条直线叫做________．
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回归直线方程
相关关系
回归直线
一条直线
线性相关
第56讲 变量的相关性、统计案例

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中心
第56讲 变量的相关性、统计案例

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正相关
负相关
第56讲 变量的相关性、统计案例
三、独立性检验
1．若变量的不同“值”表示___________________，则这类变量称为分类变量．
2．列出的两个分类变量的______表，称为列联表．
假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
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个体所属的不同类别
频数
第56讲 变量的相关性、统计案例
3.利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为____________．
独立性检验公式K2 ＝_____________________________，其中n＝a＋b＋c＋d.
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独立性检验
—— 疑 难 辨 析 ——
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第56讲 变量的相关性、统计案例
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第56讲 变量的相关性、统计案例
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第56讲 变量的相关性、统计案例
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第56讲 变量的相关性、统计案例
说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题，示例均选自2008年～2012年安徽卷．
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第56讲 变量的相关性、统计案例
►　探究点一　变量相关关系的判断
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第56讲 变量的相关性、统计案例

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第56讲 变量的相关性、统计案例
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第56讲 变量的相关性、统计案例
[点评] 相关关系的直观判断方法就是作出散点图，如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．散点图从定性角度说明变量间是否具有相关性以及是否是线性相关，但不能精确地说明变量之间的密切程度；相关系数r从定量的角度分析线性相关性的强弱，|r|越接近1，线性相关程度越高，反之亦然，r>0，表示两变量为正相关，r<0，表示两变量为负相关．
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第56讲 变量的相关性、统计案例
归纳总结　对两个变量的相关关系的判断有两个方法：一是根据散点图，具有很强的直观性，直接得出两个变量是正相关或负相关，线性回归分析以散点图为基础，拟合效果的好坏可由直观性直接判断；二是计算相关系数法，这种方法能比较准确地反映相关程度，相关系数的绝对值越接近1，相关性就越强，相关系数就是描述相关性强弱的，相关性有正相关和负相关，强相关和弱相关．
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第56讲 变量的相关性、统计案例
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第56讲 变量的相关性、统计案例
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第56讲 变量的相关性、统计案例
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第56讲 变量的相关性、统计案例
►　探究点二　回归方程的求法及回归分析
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第56讲 变量的相关性、统计案例

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第56讲 变量的相关性、统计案例

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第56讲 变量的相关性、统计案例
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第56讲 变量的相关性、统计案例
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第56讲 变量的相关性、统计案例
归纳总结　回归分析就是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性，散点图形象地反映了各对数据的密切程度，线性回归分析的主要作用是通过对两个变量已有数据的分析，来预测这两个变量的变化趋势，一般步骤是：
①进行线性相关性检验．
②如果具有线性相关性，用最小二乘法求出线性回归方程．
③将观测值代入回归方程进行预测．
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第56讲 变量的相关性、统计案例
►　探究点三　独立性检验的基本思想及应用
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第56讲 变量的相关性、统计案例

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第56讲 变量的相关性、统计案例

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第56讲 变量的相关性、统计案例
[点评] 解决独立性检验问题，关键是根据样本的数据，正确作出2×2列联表，利用公式计算K2的观测值，对照临界值，作出统计推断．
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第56讲 变量的相关性、统计案例
易错究源　21　统计基本思想方法理解不准致误
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第56讲 变量的相关性、