第二章 统计 单元复习
高中数学（必修3）
第二章《统计》
知识结构
统计
用样本估计总体
随机抽样
简单随机抽样
系统抽样
分层抽样
变量间的相关关系
用样本的频率
布估计总体分布
用样本的数字特征估计总体数字特征
基本概念
总体：把所有考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看作总体。
个体：构成总体的每一个元素作为个体。
样本：从总体中抽出若干个体所组成的集合叫样本。
注意以下四点：
（1）它要求被抽取样本的总体的个体数有限；
（2）它是从总体中逐个进行抽取；
（3）它是一种不放回抽样；
（4）它是一种每个个体被抽到的机会都相等的抽样。
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。
1、简单随机抽样
抽签法
2.随机抽样的具体实施方法：
随机数表法
1、抽签法
先将总体中的所有个体（共N个）编号（号码可以从1到N），并把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等制作），然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌。抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。
2、用随机数表法进行抽取
随机抽样并不是随意或随便抽取，因为随意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素
（1）随机数表是统计工作者用计算机生成的随机数，并保证表中的每个位置上的数字是等可能出现的。
（2）随机数表并不是唯一的，因此可以任选一个数作为开始，读数的方向可以向左，也可以向右、向上、向下等等。
（3）用随机数表进行抽样的步骤：⒈将总体中个体编号；⒉选定开始的数字；⒊获取样本号码。
（4）由于随机数表是等概率的，因此利用随机数表抽取样本保证了被抽取个体的概率是相等的。
练习：
请自行设计一个抽样方法，从某校高二（19）班60人中
抽取10人参加初中招生服务队。
（1）先将学生编号，号码为01至60，
解：
（2）规则：从随机数表第七行第13列开始，向
右读数，碰到右边线时向下错一行向左继续取。
（3）根据规则，所取的数为：
24 06 04 47 21 33 50 25 12 25
当总体的个数较多时，采用简单随机抽样太麻烦，这时将总体分成均衡的部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分中抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样称为系统抽样。
2．系统抽样

系统抽样的步骤为：
（1）采取随机方式将总体中的个体编号。
（2）将整个的编号均衡地分段，确定分段间隔k。
（3）第一段用简单随机抽样确定起始号码l(l≤k)。
（4）按照规则抽取样本：l；l＋k；l＋2k；……l＋nk
用系统抽样方法，从某校高二（19）班60人中抽取6人参加初中招生服务队。
练习：
解：
（1）将学生随机编号，号码为01至60。
（2）将编号均匀分段，分段的间隔为60/6=10
（3）规则：在第一段用简单随机抽样法取一个
数a，然后再将a加上10得第二个数，将（a+10）
再加上10，得第三个数，这继续下去，直到获取
样本。
则所得的样本为：
06 16 26 36 46 56
3．分层抽样
当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样。这种抽样叫做分层抽样。
说明：
1、分层抽样适用于总体由差异明显的几个部分组成。
2、在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样；
3、分层抽样也是等概率抽样。
4、每一层的个数不同，则抽取的个数也应不同。
例、一个单位的职工有500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人。为了了解该单位职工年龄与身体状况的有关指标，从中抽取100名职工作为样本，应该怎样抽取？
（1）抽取人数与职工总数的比是100：500＝1：5，
解：
（2）各层抽出的职工数分别为：
抽样方法
学习目的
1、能掌握各种抽样方法，以及各抽样方法的步骤；
2、能正确区分使用哪一种抽样方法；
3、掌握各抽样方法中每个个体被抽取的概率都相等，
并能解决简单的应用问题。
1、 简单随机抽样的方法：
①、抽签法
②、随机数表法
用随机数表进行抽样的步骤：
⒈将总体中个体编号；
⒉选定开始的数字，制定规则；
⒊获取样本号码。
知识回顾
2, 系统抽样的步骤为：
（1）采取随机方式将总体中的个体编号。
（2）将整个的编号均衡地分段，确定分段间隔k。
（3）第一段用简单随机抽样确定起始号码l。
（4）按照规则抽取样本：l；l＋k；l＋2k；……l＋nk
3, 分层抽样的抽取步骤：
（1）总体与样本容量确定抽取的比例。
（2）由分层情况，确定各层抽取的样本数。
（3）各层的抽取数之和应等于样本容量。
（4）对于不能取整的数，求其近似值。
每层的抽取方法为简单随机抽样或系统抽样
4．三种抽样方法的比较
1．如果采用分层抽样，从个体数为N的总体中，抽取一个容量为n的样本，那么每个个体被抽到的概率等于 （ ）
2．某小礼堂有座位25排，每排有20个座位。一次心理讲座，礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下了座位号是15的所有的25名学生测试，这里运用的抽样方法是（ ）
A.抽签法 B．随机数表法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
C
A
5．课堂练习
3．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采取分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（ ）
　A．15，5，25 B．15，15，15
C．10，5，30 D．15，10，20
4．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们身体状况的某项指标，需要从他们中抽取一个容量为36的样本，适合抽取样本的方法是（ ）
　A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样
　D．先从老年人中剔除1人，然后再分层抽样。
D
D
5, 某公司在A,B,C,D四个地区分别有150个,120个,180个
150个销售点, 公司为了调查产品销售情况,需从这600个
销售点中抽取容量为100的样本,记这项调查为①; 在C
地区有20个特大型销售点,现从中抽取7个调查它的销售
收入和销后服务情况,记这项调查为②;则完成①,②这两
项调查应采取的抽样方法依次为( )
A, 分层抽样法, 系统抽样法;
B, 分层抽样法, 简单随机抽样法;
C, 系统抽样法, 分层抽样法;
D, 简单随机抽样法, 分层抽样法;
B
5．某中学有学生2000名，高一、高二、高三的学生人数之比为5：3：2，现要抽取一个容量为200的样本，则学生甲被抽到的概率是______________。若高一学生抽取50人，则样本的容量为___________.
6．某中学高中部一年级有学生400人，二年级有学生320人，三年有学生280人，以每人被抽取的概率为0.2，向该中学高中部抽取一个容量为n的样本，则n=_______________。
1/10
200
7．为了了解某地区参加某项竞赛的1005名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为50的样本，现用系统抽样的方法，需要从总体中剔除5个个体，在整个抽样过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽取的概率分别是_____________和____________。
100
8.一个电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下所示：
很喜爱 喜爱 一般 不喜爱
2400 4200 3800 1600

打算从中抽取60人进行详细调查，如何抽取？
采用分层抽样：12000：60＝200：1
9．已知某天一工厂甲、乙、丙三个车间生产的产品数分别是1500、1300、1200，为了掌握各车间生产质量情况，要从中取出一个容量为40的样本，按照分层抽样的方法取样
10.某校有职工140名，其中教师91名，行政人员28人，后勤人员21人，为了职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如何抽取？
法一：随机抽样法－抽签法
法二：系统抽样：将140人分成20组，每组7人，然后每组抽取1人.
法三：分层抽样法: 140：20＝7:1，教师13人，行政人员4人，后勤人员3人.
11 某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查
他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适
合抽取样本的方法是( )．
A．简单随机抽样 B．系统抽样
C．分层抽样 D．先从老年人中剔除
一人，然后分层抽样
D
4. 频率分布表
（1）含义：表示样本数据分布规律的表格.
（2）作法：
第一步，求极差.
第二步，决定组距与组数.
第三步，确定分点，将数据分组.
第四步，统计频数，计算频率，制成表格.
5. 频率分布直方图
（1）含义：表示样本数据分布规律的图形.
（2）作法：
第一步，画平面直角坐标系.
第二步，在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴上标出单位长度.
第三步，以组距为宽，各组的频率与组距的商为高，分别画出各组对应的小长方形.
6. 频率分布折线图
在频率分布直方图中，依次连接各小长方形上端中点得到的一条折线，称为频率分布折线图.
7. 总体密度曲线
当总体中的个体数很多时，随着样本容量的增加，所分的组数增多，组距减少，相应的频率分布折线图越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.
8. 茎叶图
作法：
第一步，将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分；
第二步，将最小的茎和最大的茎之间的数按大小次序排成一列，写在左（右）侧；
第三步，将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧.
9. 众数、中位数和平均数
众数：频率分布直方图最高矩形下端中点的横坐标.
中位数：频率分布直方图面积平分线的横坐标.
平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积的总和.
10. 标准差
11. 相关关系
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系.
12. 散点图
在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图.
如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.
13. 回归直线
14. 回归方程
巩固练习
例1 为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，5000名学生成绩的全体是 （ ）
A. 总体 B. 个体
C. 从总体中抽取的一个样本 D. 样本的容量
A
例2 在2002年春季，一家著名的全国性连锁服装店，进行了一项关于当年秋季服装流行色的民意调查.调查者通过向顾客发放饮料，并让顾客通过挑选饮料杯上印着的颜色来对自己喜欢的服装颜色“投票”.根据这次调查，在某大城市A，服装颜色的众数是红色，而当年全国服装协会发布的是咖啡色.
（1）这个结果是否代表A城市的人的想法？
（2）你认为这两种调查的差异是由什么原因引起的？
（1）这个结果只能说明A城市中光顾这家连锁服装店的人，比其他人较少倾向于选择咖啡色，同时由于光顾连锁店的人是一种方便样本，不能代表A城市其他人的想法.
（2）是由样本的代表性引起的.因为A城市的调查结果来自于该市光顾这家连锁服装店的人群，这个样本不能很好地代表全国民众的观点.
例3 某初级中学有学生270人，其中七年级108人，八、九年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查.使用分层抽样时，将学生按七、八、九年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽到的号码有下列四种情况：
① 7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
② 5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③ 11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④ 30，57，84，111，138，165，192，219，246，270.
那么下列判断正确的是 （ ）
A. ②③都不能为系统抽样 B. ②④都不能为分层抽样
C. ①④都可能为系统抽样 D. ①③都可能为分层抽样
D