秦九韶算法
算 法 案 例
第二课时
1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是（ ）和（ ）。

2、两个数21672，8127的最大公约数是 （ ）
A、2709 B、2606 C、2703 D、2706
复习引入:
新课讲解:
思考
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？
计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
当x = 5的值的算法：
算法1：
因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
= 3906
算法2：
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１
=5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１
=5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１
=5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
分析：两种算法中各用了几次乘法运算？和几次加法运算？
算法1：
算法2：
共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
《数书九章》——秦九韶算法
对该多项式按下面的方式进行改写：
思考：当知道了x的值后该如何求多项式的值？
这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
最后的一项是什么？
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
思考：在求多项式的值上，这是怎样的一个转化？
通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。
秦九韶算法的特点：
例： 已知一个五次多项式为
用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。
解：
将多项式变形：
按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：
所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2
你从中看到了怎样的规律？怎么用程序框图来描述呢？
程序框图：
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。
另解：（秦九韶算法的另一种直观算法）
5 2 3.5 -2.6 1.7 -0.8
X5
27 138.5 689.9 3451.2 17255.2
+
多项式的系数
多项式的值
25 135 692.5 3449.5 17256
0
5
(1)、算法步骤：
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值.
第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1.
第三步：输入i次项的系数an.
第四步：v=vx+ai, i=i-1.
第五步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v。
思考：你能设计程序把“秦九韶算法”表示出来吗？
（2）程序框图：
（3）程序：
INPUT “n=”；n
INPUT “an=“;a
INPUT “x=“;x
v=a
i=n-1
WHILE i>=0
PRINT “i=“;i
INPUT “ai=“;a
v=v*x+a
i=i-1
WEND
PRINT v
END
1、已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1
用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值。
练习：
2、已知多项式f(x)=2x4-6x3-5x2+4x-6
用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值。
课堂小结：
1、秦九韶算法的方法和步骤
2、秦九韶算法的程序框图