秦九韶算法
秦九韶和《数书九章》
秦九韶（约公元1202年－1261年），字
道古，南宋末年人，出生于鲁郡（今山东
阜一带人）

据史书记载，他“性及机巧，星象、
音律、算术以至营造无不精究”，还尝从李
梅亭学诗词。他在政务之余，以数学为主线
进行潜心钻研，且应用范围至为广泛：天文
历法、水利水文、建筑、测绘、农耕、军事、
商业金融等方面。

秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋
元数学四大家。
秦九韶和《数书九章》
宋淳祜四至七年（公元1244至1247），
秦九韶在湖州为母亲守孝三年期间，把长期
积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成
了举世闻名的数学巨著《数书九章》。
《数书九章》全书共九章九类，十八
卷，每类9题共计81个算题。该书著述方
式，大多由“问曰”、“答曰”、“术曰”、“草
曰”四部分组成：“问曰”，是从实际生活中
提出问题；“答曰”，是给出答案；“术曰”，
是阐述解题原理与步骤；“草曰”，是给出详
细的解题过程。另外，每类下还有颂词，词
简意赅，用来记述本类算题主要内容、与国
计民生的关系及其解题思路等。
秦九韶和《数书九章》
他在《数书九章》序言中说，数学“大
则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，
类万物”。所谓“通神明”，即往来于变化莫
测的事物之间，明察其中的奥秘；“顺性
命”，即顺应事物本性及其发展规律。在秦
九韶看来，数学不仅是解决实际问题的工
具，而且应该达到“通神明，顺性命”的崇高
境界。
从历史上来看，秦九韶的《数书九章》
可与《九章算术》相媲美；从世界范围来
看，秦九韶的《数书九章》也不愧为世界数
学名著。
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？
此算的优点是简单,易懂；缺点是不通用,不能解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高.
15次乘法运算,5次加法运算
方法二:先计算x2的值，然后依次计算x2·x，(x2·x)·x，((x2·x)·x)·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果.
与第一种做法相比,这种做法中，乘法的运算次数减少了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到结果.
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？
9次乘法运算,5次加法运算
方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7
=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7
=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7
=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7
=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？
方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7
=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7
=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7
=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7
=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
v0=2
v1=v0x-5=2×5-5=5
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？
①
方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7
=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7
=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7
=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7
=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
v0=2
v1=v0x-5=2×5-5=5
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？
①
v2=v1x-4=5×5-4=21
②
方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7
=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7
=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7
=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7
=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
v0=2
v1=v0x-5=2×5-5=5
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？
①
v2=v1x-4=5×5-4=21
②
③
v3=v2x+3=21×5+3=108
方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7
=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7
=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7
=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7
=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
v0=2
v1=v0x-5=2×5-5=5
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？
①
v2=v1x-4=5×5-4=21
②
③
v3=v2x+3=21×5+3=108
④
v4=v3x-6=108×5-6=534
方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7
=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7
=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7
=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7
=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
v0=2
v1=v0x-5=2×5-5=5
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？
①
v2=v1x-4=5×5-4=21
②
③
v3=v2x+3=21×5+3=108
④
v4=v3x-6=108×5-6=534
v5=v4x+7=534×5+7=2677
⑤
方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7
=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7
=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7
=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7
=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
v0=2
v1=v0x-5=2×5-5=5
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？
①
v2=v1x-4=5×5-4=21
②
③
v3=v2x+3=21×5+3=108
④
v4=v3x-6=108×5-6=534
v5=v4x+7=534×5+7=2677
⑤
5次乘法运算,5次加法运算
秦九韶算法
问题2：如何求多项式
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值？
问题2：如何求多项式
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值？
v0
v1
问题2：如何求多项式
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值？
v0
v1
问题2：如何求多项式
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值？
v0
v1
v2
v2=v1x+an-2
问题2：如何求多项式
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值？
v0
v1
v2
v2=v1x+an-2
……vi=vi-1+an-i
问题2：如何求多项式
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值？
v0
v1
v2
v2=v1x+an-2
……vi=vi-1+an-i
……vn=vn-1x+a0
循环体
秦九韶法求n次多项式的值需要多少次乘法，多少次加法运算？
用秦九韶算法求多项式的值，其算法步骤如何设计？
算法分析：
解：f(x)=((((4x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.
v1=4×5+2=22；
v2=22×5+3.5=113.5；
v3=113.5×5-2.6=564.9；
v4=564.9×5+1.7=2826.2；
v5=2826.2×5-0.8=14130.2.
所以f(5)= =14130.2.
例2 已知一个5次多项式f(x)=4x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8用秦九韶算法求这个多项式当x=5的值.
小结
评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.
在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法.