3．3　直线的交点坐标与距离公式
3．3.1　两条直线的交点坐标
3．3.2　两点间的距离
一、阅读教材P102～105回答
1．已知两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，如果l1与l2相交且交点为P(x0，y0)，则P点的坐标应满足方程组 ；如果P

点的坐标是方程组*的惟一解，则P点是直线l1与l2的 ．因此，两条直线是否有交点，就要看方程组*是否有 解．当方程组*有无穷多个解时，说明直线l1与l2
当方程组无解时，说明直线l1与l2
交点
惟一
平行
重
合
2．已知两直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，
(1)若l1与l2相交，则k1 k2，
(2)若l1∥l2，则k1 k2，b1 b2，
(3)若l1与l2重合，则k1 k2，b1 b2.(在横线上填“＝”或“≠”)
3．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(A1B1C1≠0，A2B2C2≠0)．
≠
＝
≠
＝
＝
5．用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步建立直角坐标系，第二步用坐标表示相关的量进行有关代数运算，第三步把代数运算结果“翻译”成几何关系．
二、解答下列问题
1．直线l1：x＋y－1＝0，l2：x－y＋3＝0，l1与l2的交点坐标为 ．
2．直线l1：y＝kx＋3与l2：x－y＋b＝0相交于点A(1,0)，则k＋b＝ .
3．过点(－1,2)与直线y＝－2x－3平行的直线方程为 .
4．两点A(1,2)、B(－3,1)的距离为 .
5．直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则直线x＋ay＋2a－3＝0在y轴上的截距为 .
(－1,2)
－4
2x－y＋4＝0
－1
本节学习重点：两条直线的位置关系及两点间距离公式．
本节学习难点：①含字母系数时两直线位置关系的讨论．
②两点间距离公式的推导．
1．利用二元一次方程组的系数关系判断解的情况或直线的交点个数时，应注意系数为零的情况．
2．经过两相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可表示为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不表示l2，λ∈R)．此结论反过来也成立．用它求经过两直线交点的直线方程时，避免了繁杂的计算．
3．两点间距离公式的推导采用的构造三角形的方法，由于平行于坐标轴的线段长易求．因此构造了直角三角形P2QP1，从而推导出|P1P2|的距离公式．
[例1]　求经过点(2,3)，且经过两条直线l1：x＋3y－4＝0，l2：5x＋2y＋6＝0交点的直线方程．
[解析]　解方程组
[点评]　上述解法是一般求解方法．
也可设所求直线为(x＋3y－4)＋λ(5x＋2y＋6)＝0，
过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线的方程为 (　　)
A．19x－9y＝0　　　　 B．9x＋19y＝0
C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0
[答案]　D
[点评]　(1)解出交点坐标x、y以后，可将x，y值代入各选项检验，或用两点式写出方程即可．
[例2]　已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)求证：△ABC为等腰三角形．
已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为________．
[答案]　(－5,0)或(11,0)
[分析]　设出点P的坐标，根据两点间距离公式，列方程求解．
[例3]　k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x＋4y－4＝0的交点在第一象限？
[点评]　直线l1：y＝k(x＋3)－2过定点A(－3，－2)，故讨论两直线交点在第一象限可用数形结合法．如图，l2：x＋4y－4＝0与坐标轴交点B(0,1)、C(4,0)．
满足条件时，kAC已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，试求m为何值时，l1与l2：(1)重合；(2)平行；(3)垂直；(4)相交．
[解析]　当l1∥l2(或重合)时，A1B2－A2B1＝1×3－(m－2)m＝0，解得m＝3或m＝－1
(1)当m＝3时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0
l1与l2重合．
(2)当m＝－1时，
l1x－y＋6＝0，l2：－3x＋3y－2＝0，∴l1∥l2.
(3)当l1⊥l2时，A1A2＋B1B2＝0
(4)m≠3且m≠－1时，l1、l2相交．
[点评]　要注意表达的准确性；xy＝0时，有x＝0或y＝0，xy≠0时，有x≠0且y≠0.
[例4]　若某种产品在市场上的需求数量Q与价格P之间的关系为P－3Q－5＝0，供应数量Q与价格P之间的关系为P＋2Q－25＝0，单位分别是“万件”和“万元”，试求市场的供需平衡点(即供应量和需求量相等的点)．
[解析]　由已知，需求线和供应线的方程分别为P－3Q－5＝0，P＋2Q－25＝0，它们的图像都是直线(如下图所示)，在经济工作中，习惯上以横轴表示数量，纵轴表示价格．
供应线与需求线的交点，就是市场供需平衡点，此点的坐标可由方程组
即当供应数量和需求数量都是4万件时，市场达到供需平衡，此时每万件商品价格为17万元．
总结评述：一般来说，当供应量大于需求量时，价格将要下跌，供应量小于需求量时，价格可能上涨，这就是所谓的供求律．
A、B两个厂距一条河分别为400m和100m，A、B两厂之间距离500m，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座提水站，供A、B两厂用水，要使提水站到A、B两厂铺设的水管长度之和最短，问提水站应建在什么地方？
[分析]　这是一个对称问题，点A关于河的对称点A′与点B的连线，交小河于点P，则|PA′|＋|PB|＝|PA|＋|PB|，此点即为所求(证明略)．
[解析]　如右图，以小河所在直线为x轴，过点A的垂线为y轴，建立直角坐标系，则点A(0,400)．过点B作BC⊥AO于点C.在△ABC中，AB＝500，AC＝400－100＝300，由勾股定理得BC＝400.∴B(400,100)．
故提水站(点P)在距O点320m处(如右图)时，到A、B两厂的水管长度之和最短．
[例5]　△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明|AE|＝|CD|.
已知AO是△ABC的边BC的中线，证明|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
[证明]　取BC边所在直线为x轴，边BC的中点O为原点建立直角坐标系如图，设B(－a,0)，C(a,0)，A(m，n)，其中a>0，则
|AB|2＋|AC|2＝(m＋a)2＋n2＋(m－a)2＋n2
＝2(m2＋a2＋n2)，
|AO|2＋|OC|2＝m2＋n2＋a2.
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
总结评述：用解析法(坐标法)解决几何问题的一个关键环节，就是建立恰当的平面直角坐标系，建系的原则是：
(1)若题目中出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系；
(2)若已知两定点，常以两定点的中点(或其中一个点)为原点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系；
(3)若已知两条互相垂直的定直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系；
(4)若已知一定点和一定直线，常以定点到定直线的垂线段的中点为原点，该垂线段所在直线为x轴建立直角坐标系，或以该定点向定直线作垂线的垂足为原点，定直线为x轴建立直角坐标系；
(5)若已知定角，常以定角的顶点为原点，定角的角平分线为x轴建立直角坐标系；
(6)建系时要使尽可能多的点落在坐标轴上，或充分利用图形的对称性.
[例6]　已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
求证：直线l过定点．
[分析]　该直线方程表示一族直线，过同一定点，求直线系的定点可用分离参数法或赋值法．
[解析]　将直线变形为：y－1＝k(x＋2)，由点斜式方程知，不论k为何值，直线l过定点(－2,1)．
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交于P点．
求证：方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)表示过l1与l2交点P的直线．
[证明]　设P点坐标为(x0，y0)，由题意，
A1x0＋B1y0＋C1＝0，A2x0＋B2y0＋C2＝0，
∴A1x0＋B1y0＋C1＋λ(A2x0＋B2y0＋C2)＝0，
即曲线
A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0过P点．
∵直线l1与l2相交，∴A1B2－A2B1≠0，
原方程可变形为(A1＋λA2)x＋(B1＋λB2)y＋C1＋λC2＝0，∵A1B2－A2B1≠0，
∴A1＋λA2与B1＋λB2不同时为0(否则将有A1B2－A2B1＝0)．∴原方程表示过P点的直线．
总结评述：本例给出的方程习惯上称作直线系方程，在一个直线方程中含有一个参数如λ，当λ变化时，直线也变化，但无论λ怎样变化，得到的所有直线都具有某种性质(如平行、过定点等)．这样的直线系我们已学过的有：
(1)平行直线系
与Ax＋By＋C＝0平行的直线Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，
与Ax＋By＋C＝0垂直的直线Bx－Ay＋C1＝0，
与直线y＝kx＋b平行的直线y＝kx＋b1(b1≠b)，

(2)中心直线系
过定点P(x0，y0)的直线y－y0＝k(x－x0)(不包括垂直于x轴的直线)
过两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.(不包括第二条直线)
一、选择题
1．若两直线kx－y＋1＝0和x－ky＝0相交，且交点在第二象限，则k的取值范围是 (　　)
A．(－1,0)　　　　　 B．(0,1]
C．(0,1) D．(1，＋∞)
[答案]　A
2．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且平行于直线x－2y＝0的直线的方程是 (　　)
A．x－2y＋11＝0 B．2x－y－1＝0
C．x－2y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0
[答案]　A
3．已知A(－1,0)、B(1,0)、C(0，－)，则△ABC的形状为 (　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
[答案]　D
[解析]　∵|AB|＝|BC|＝|AC|＝2
∴△ABC为等边三角形，故选D.
二、填空题
4．直线ax＋3y－12＝0与直线4x－y＋b＝0垂直，且相交于点P(4，m)，则b＝________.
[答案]　－13
三、解答题
5．求过两直线3x＋y－5＝0与2x－3y＋4＝0的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
∴所求直线方程为x＋y－3＝0.
②若直线过原点，所求直线方程为y＝2x，即2x－y＝0.综上可知所求直线方程为x＋y－3＝0或2x－y＝0.
解法2：设所求直线方程为3x＋y－5＋λ(2x－3y＋4)＝0，即(3＋2λ)x＋(1－3λ)y＋(－5＋4λ)＝0.