3.3　直线的交点坐标与距离公式
3.3.1　两条直线的交点坐标两点间的距离
1．掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对应关系，并且会通过直线方程的系数判定解的情况．掌握判断两条直线位置关系的方法.
2．当两条直线相交时，会求交点坐标．
3．掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程，能灵活运用此公式解决一些简单问题．
4．体会坐标法对于解平面几何问题的重要性．
基础梳理
1．求两直线的交点坐标的方法：解方程组，以方程组的解为______的点就是交点．
2．两点间的距离公式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|＝________________.
练习1.直线l1：x＝－1，l2：x＝2的位置关系为：______.
练习2.(1)两点A(0，－4)与B(0，－1)间的距离为：______.
(2)已知两点A(2,5)，B(3,7)，则|AB|的值为______．
(3)P(x，y)到原点O(0,0)的距离d＝__________.
坐标
平行
3
思考应用
如何利用方程判断两直线的位置关系？
解析：只要将两条直线l1和l2的方程联立，得方程组
(1)若方程组无解，则l1∥l2；
(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；
(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合．
自测自评
1．直线3x＋5y＋1＝0与直线4x＋3y＋5＝0的交点是(　　)
A．(－2,1) B．(－3,2)
C．(2，－1) D．(3，－2)
2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则k的值为(　　)
A．－2 B．－ C．2 D.
A
解析：易求直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点为(－1，－2)，代入x＋ky＝0得k＝－ .
答案：B
3．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一个定点，这个定点是(　　)
A．(2,3) B．(－2,3)
C. D．(－2,0)
解析：将直线化为a(x＋2)＋(－x－y＋1)＝0，故直线过定点(－2,3)．
答案：B
4．已知点A(a,0)，B(b,0)，则A，B两点间的距离为(　　)
A．a－b B．b－a
C. D．|a－b|
D
5．以A(5,5)、B(1,4)、C(4,1)为顶点的三角形是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：|AB|＝|AC|＝ ，|BC|＝ ，故△ABC为等腰三角形．
求两直线的交点
直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第四象限，求m的取值范围．
点评：求两条直线的交点坐标就是解联立两直线方程所得方程组的解，方程组解的个数也可判定两条直线的位置关系：当方程组仅有一组解时，两直线只有一个交点，故相交；当方程组有无数组解时，两直线有无数个公共点，故重合；当方程组无解时，两直线没有公共点，故平行．
跟踪训练
1．求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程l.
法二：∵直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，
∴设直线l的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.
∵直线l与直线3x＋y－1＝0平行，

从而所求直线方程为15x＋15y＋16＝0.
直线过定点问题
求证：无论m取何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都恒过一个定点．
证明：法一：取m＝1，直线为y＝－4；
再取m＝ ，直线为x＝9.
两直线的交点为P(9，－4)．
将点P的坐标代入原方程左端得(m－1)x＋(2m－1)y＝(m－1)×9－(2m－1)×4＝m－5.
故不论m为何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即此直线过定点(9，－4)．
法二：把原方程整理得(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，
此方程对任意实数m都成立，则必有
解得
∴无论m取何实数时，此直线恒过定点(9，－4)．
点评：法二的解法即方程ax＋b＝0对x∈R恒成立时成立的条件：a＝b＝0.
跟踪训练
2．不论m怎样变化，直线(m－2)x－(2m＋1)y－(3m＋4)＝0恒过定点________．
解析：原方程可化为(x－2y－3)m－(2x＋y＋4)＝0，


∴直线恒过定点(－1，－2)．
答案：(－1，－2)
两点间的距离公式及解法
已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)
求证：△ABC为等腰三角形．
跟踪训练
3．已知点A(3，－1)，B ，C(3,4)，试判断△ABC的形状．
∴|AB|＝|BC|，且|AB|2＋|BC|2＝|AC|2，故△ABC为等腰直角三角形．
对称问题
一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程．
解析：设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
∴A的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，
点评：光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．
(1)点A(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)可由方程组
(2)常用对称的特例有：
①A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)；
②B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)；
③C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)；
④D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)；
⑤P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b).
跟踪训练
4．一条光线从点A(3,2)出发，经x轴反射，通过点B(－1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．
1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标为(　　)
A．(4,1)　　　　　　　　 B．(1,4)
C. D.
2．已知A(－1,0)，B(1,0)，C(0，－)，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形　　　　　 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：画图用两点距离公式可求出
|AB|＝|AC|＝|BC|＝2.
答案：D
C
1．关于两条直线相交的判定：
(1)两直线组成的方程组有惟一解，则两直线相交．
(2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．注意两直线的斜率一个存在，另一个不存在时，两直线也相交．
2．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离公式适用于坐标系中的任意两点．
3．对于特殊情况，可结合图形求解．
(1)P1P2平行于x轴时，y1＝y2，|P1P2|＝|x2－x1|；
(2)P1P2平行于y轴时，x1＝x2，|P1P2|＝|y2－y1|；
(3)P1，P2在直线y＝kx＋b上时，
祝
您
学业有成