3．3.1　
两条
直线
的交
点坐标
3.3
直线的交点坐标与距离公式
3．3.1　

两条直线的交点坐标
若方程组有配 ，则两条直线 ，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线 ，此时两条直线 ．
惟一解
相交
无公共点
平行
下列各组直线中，相交的是_______，平行的是_____．
①a：2x－y＋1＝0；b：x＋2y＝0
②c：y＝2x＋3；d：x－y＋1＝0
③e：x－3y＝0；f：2x－6y＋4＝0
④g：2x＋y－1＝0；h：4x＋2y－ ＝0
提示：相交的有①②；平行的有③④．
求两条直线的交点坐标就是联立两直线方程所得方程组的解，方程组解的个数也可判定两条直线的位置关系；当方程组仅有一组解时，两直线只有一个交点，故相交；当方程组有无数组解时，两直线有无数个公共点，故重合；当方程组无解时，两直线没有公共点，故平行．
已知三条直线方程：x－2y＝1,2x＋ky＝3,3kx＋4y＝5，是否存在实数k使得三条直线交于一点？若存在求实数k的值，若不存在说明理由．
[提示]　先假设存在使三条直线交于一点的k，再由两条直线的交点代入第三条直线的方程得k值，若求得即存在，否则就不存在．
1．在本例的三条直线中，若三直线不能构成三角形，
求k的取值集合．
1.直线系就是具备某种共同特点的一系列直线．
2．几种特殊的直线系方程：
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝
0(m≠C)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝
0(m为常数)；
(3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系
为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，但其不能表示直线A2x＋B2y＋C2＝0，其中λ为常数．
求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
[提示]　可考虑平行的条件，利用常规法解决，即先求出交点，用点斜式得出方程；也可考虑利用平行直线系，或过交点的直线系．
2．把本例中的“平行”改为“垂直”，求直线方程．
要证明直线系中的直线都过一定点，就要证明它是一个共点的直线系．一般有两种方法：①按直线系方程中参数进行整理，令它们的系数为零，解出定点的坐标；②给参数赋予两组特殊值，得到直线系中的两条直线，然后证明它们的交点是直线系中任何直线都过的定点．
求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点．
[提示]　特殊值法，分别代入两个m值得两直线方程，再确定交点坐标或将原方程中含有m的式子提出来，联立方程组求解．
3．若m＋n＝1，证明直线mx＋ny＝1过定点．
求证：不论m取何实数，直线(2m－1)x－(m＋3)y－m＋11＝0恒过一定点．
[错因]　(1)对定点的概念认识模糊，以为用常参数表示，即表示定点，这实际上是受思维定势的影响，它与直线y＝kx＋2(k∈R)过定点(0,2)不同．
(2)变形不是恒等变形，原方程m可取任意值，变形后的式子m≠－3.
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