3.3.1 两条直线的交点坐标
及两点间距离公式
同一直角坐标系中的两条直线l1：A1x+B1y+C1
=0, l2:A2x+B2y+C2=0有几种位置关系？
l1和l2相交
l1和l2平行
l1和l2重合
下面的表格中，你能用代数表示表示出左边的几何元素及关系吗？
A（a，b）
l1：A1x+B1y+C1=0
A1a+B1b+C1=0
例1.　如图，求直线 l1：3x+4y-2=0和直线 l2:2x+y
+2=0的交点坐标.
解:解方程组
所以两条直线的交点M坐标是（-2，2）.
得：
l1
l2
（1）若二元一次方程组有唯一解，l1与l2 ，
　　 交点为二元一次方程的解.
（2）若二元一次方程组无解，则l1与l2 ，两
　　 条直线没有公共点 .
（3）若二元一次方程组有无数解，则l1与l2 .
相交
重合
平行
例2. 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求
出交点的坐标
（1）l1:x-y=0， l2:3x+3y-10=0
（2）l1:3x-y+4=0， l2:6x-2y-1=0
（3）l1:3x+4y-5=0， l2:6x+8y-10=0
解:
所以l1与l2相交，
（1）解方程组
判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求
出交点的坐标
（1）l1:x-y=0， l2:3x+3y-10=10
（2）l1:3x-y+4=0， l2:6x-2y-1=0
（3）l1:3x+4y-5=0， l2:6x+8y-10=10
解:
得出方程组无解，所以两直线无公共点，
即l1与l2平行.
（2）解方程组
例2.　判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求
出交点的坐标
解:
两个方程可以化成同一个方程，因此两个方程表示同一条直线，即l1与l2重合.
（3）解方程组
（1）l1:x-y=0， l2:3x+3y-10=10
（2）l1:3x-y+4=0， l2:6x-2y-1=0
（3）l1:3x+4y-5=0， l2:6x+8y-10=10
求下列各对直线的交点坐标，并画出图形
（1）l1:2x+3y=12， l2:x-2y=4
（2）l1:x=2， l2:3x+2y-12=0
解:
（1）解方程组
求下列各对直线的交点坐标，并画出图形
所以直线l1与l2的交点坐标是（2，3）.
解:
（2）解方程组
（1）l1:2x+3y=12， l2:x-2y=4
（2）l1:x=2， l2:3x+2y-12=0
判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求
出交点的坐标
（1）l1:2x-3y=7， l2:4x+2y=1
解:
所以l1与l2相交，
（1）将方程变形后，解方程组
判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求
出交点的坐标
将直线l1的方程变形后可以发现， l1的方程可以化成直线l2
的方程.所以直线l1与l2表示同一条直线，即直线与重合.
解:
（2）将方程变形后，解方程组
（1）l1:2x-3y=7， l2:4x+2y=1
判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求
出交点的坐标
得出方程组无解.
所以直线l1与l2没有公共点，即直线l1与l２平行.
解:
（3）将方程变形后，解方程组
（1）l1:2x-3y=7， l2:4x+2y=1
已知平面上两点P1(x1，y1),P2(x2，y2)怎样求
出它们的距离呢？
M2
M1
N1
N2
P2(x2,y2)
P1(x1,y1)
在Rt△P1QP2中，
|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2
|P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|
|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|
所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2
.
.
.
.
.
.
已知平面上两点P1(x1，y1),P2(x2，y2)怎样求
出它们的距离呢？
M2
M1
N1
N2
P1(x2,y2)
P2(x1,y1)
由此得到两点P1(x1，y1),
P2(x2，y2)间的距离公式：
.
.
.
.
.
.
原点O(0，0)与坐标上任意一
点P(x，y)的距离为：
|P1P2|=
.
P(x,y)
解：设所求点为P(x，0),于是有
|PA|=
|PB|=
由|PA|=|PB|得
x2+2x+5=
解得x=1．
所以，所求点为P(1，0)，
|PA|=
x2-4x+11,
且
例4.　证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．
证明：
D(b,c)
A(0,0)
B(a,0)
C(a+b,c)
以顶点A为坐标原
点，AB边所在的
直线为x轴建立直
角坐标系，则有
A(0，0)．
设B(a，0)，
D(b，c)，
由平行四边形的性质得到C点的坐标为:(a+b，c）
证明平行四边形四条边的平方和等于两条对
角线的平方和．
证明：
因为：
|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=2(a2+b2+c2);
D(b,c)
A(0,0)
B(a,0)
C(a+b,c)
|AC|2+|BD|2=2(a2+b2+c2);
所以：
|AB|2=a2，
|CD|2=a2，
|AD|2=b2+c2,
|BC|2=b2+c2,
|AC|2=(a+b)2+c2,
|BD|2=(b-a)2+c2,
证明平行四边形四条边的平方和等于两条对
角线的平方和．
证明：
所以：
|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2
=
|AC|2+|BD|2
因此平行四边形四条边的平方
等于两条对角线的平方和．
D(b,c)
A(0,0)
B(a,0)
C(a+b,c)
解：
求下列两点间的距离．
8
3
解：
已知点A(a，-5)与B(0，10)间的距离是17，
求a的值．
因为A,B两点间的距离是17，
所以|AB|=17，
解出:
a=±8．
练习
1.不论a为何值，直线 （a-3)x+2ay+6=0恒过定点（ ）.
2.两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上，那么k的值为（ ）.