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3.2.2 直线的两点式方程
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1.了解由直线方程的点斜式推导出两点式方程及截距式方程.2.初步学会用直线方程的知识解决有关实际问题.
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1.已知直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),则直线l的斜率为k=_______,代入点斜式方程,得_________________________,当y1≠y2时,方程可以写成_________________,这个方程是由直线上两个点确定的,所以叫做直线的__________方程.
两点式
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2.若直线与x轴的交点为(a,0)(a≠0),与y轴的交点为(0,b)(b≠0),则直线的方程为_____________,这个方程由直线与坐标轴的截距确定,所以叫做直线的___________方程.
截距式
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名 师 讲 解 (学生用书P69)
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1.直线的两点式方程如果直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,且y1≠y2),则直线l的斜率为 由直线的点斜式方程得
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若x1=x2,知P1P2与x轴垂直,此时的直线l的方程为x=x1.若y1=y2,知P1P2与y轴垂直,此时的直线l的方程为y=y1.另外,我们也可以按下面的思路推导.
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说明:直线的两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线,若将方程化为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),则可表示经过这两个点的所有直线.
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2.直线的截距式方程直线的截距式方程是两点式的特殊情形,此时两点的坐标为(a,0)和(0,b)(ab≠0),此时方程的形式为截距式方程在画直线时非常方便.
说明:直线的截距式方程不能表示与坐标轴垂直或过原点的直线.
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典 例 剖 析 (学生用书P70)
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题型一 直线的两点式方程
例1:已知三角形的三个顶点A(-2,2),B(3,2),C(3,0),求这个三角形的三边所在直线的方程以及AC边上的高线所在直线的方程.
分析:求直线的方程时要选好方程的形式,要注意方程的适用范围.
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解:如右图,直线AC过点A(-2,2),C(3,0),由直线的两点式方程得整理可得2x+5y-6=0,这就是所求直线AC的方程.直线AB经过A(-2,2),B(3,2),由于其纵坐标相等,可知其方程为y=2,这就是所求直线AB的方程.
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直线BC经过B(3,2),C(3,0),由于其横坐标相等,可知其方程为x=3,这就是所求直线BC的方程.由于A(-2,2),C(3,0),∴kAC=由AC边上的高线与AC垂直,设其斜率为k,则k•kAC=-1,得根据直线的点斜式方程,得y-2= (x-3),即5x-2y-11=0,这就是所求的AC边上的高线所在直线的方程.
规律技巧:当直线与坐标轴平行或重合时,不能用两点式,应作特殊处理.
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变式训练1:已知两点A(3,2),B(8,12).(1)求出直线AB的方程;(2)若点C(-2,a)在直线AB上,求实数a的值.
解:(1)由直线的两点式方程得即为2x-y-4=0,这就是直线AB的方程.(2)∵点C(-2,a)在直线AB上,∴2×(-2)-a-4=0.∴a=-8.
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题型二 直线的截距式方程
例2:直线l过点P(-6,3),且它在x轴上的截距是它在y轴上截距的3倍,求直线l的方程.
分析:设直线l在y轴上的截距为b,则在x轴上的截距为3b.因为截距可正,可负,可为零,所以应分b=0和b≠0两种情况解答.
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解:(1)当直线在y轴上的截距为零时,直线过原点,可设直线l的方程为y=kx,∵直线l过点P(-6,3).∴3=-6k,k=- .∴直线l的方程为y=- x,即x+2y=0.
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(2)当直线在y轴上的截距不为零时,由题意可设直线l的方程为又直线l过点P(-6,3),∴ ,解得b=1.∴直线l的方程为 +y=1.即x+3y-3=0.综上所述,所求直线l的方程为x+2y=0或x+3y-3=0.
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变式训练2:根据条件,求下列各题中直线的截距式方程.(1)在x轴上的截距为-3,在y轴上的截距为2;(2)在x轴上的截距为1,在y轴上的截距为-4.
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题型三 直线方程的应用
例3:求与两坐标轴围成的三角形面积为9,且斜率为-2的直线方程.
分析:依题意知,截距不为0,故可设出直线的截距式方程,利用待定系数法求解.
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规律技巧:求直线方程关键是选择适当的直线方程的形式,由于本题涉及到直线在两坐标上的截距,因此设出了直线的截距式方程.
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变式训练3:求与两坐标围成的三角形面积为32,且斜率为-4的直线l的方程.
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易错探究
例4:已知直线l经过点(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.
错解:错解1:由于直线l的截距相等,故直线l的斜率为±1.若k=1,则直线方程为:y+2=x-3,即为x-y-5=0;若k=-1,则直线方程为:y+2=-(x-3),即为x+y-1=0.
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错解2:由题意,直线在两轴上的截距相等,可设直线的方程为:  由于直线过点(3,-2),则有 所以a=1.即所求的方程为x+y-1=0.
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错因分析:在上述两种错解中,错解1忽视了截距的意义,截距不是距离,它可正可负,也可以为0.当k=1时,直线x-y-5=0在两轴上的截距分别为5和-5,它们是不相等的.另外,这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为0时的特殊情形;错解2中,没有注意到截距式方程的适用范围,同样也产生了漏解.
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正解:解法1:依题意,直线l的斜率存在且不为0,设其斜率为k,则可得直线的方程为:y+2=k(x-3).令x=0,得y=-2-3k;令y=0,得由题意得-2-3k=3+解得k=-1,或k=-所以l的方程为:y+2=-(x-3),或y+2=- (x-3).即为x+y-1=0,或2x+3y=0.
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解法2:设直线l在两轴上的截距均为a.(1)若a=0,则直线l过原点,此时l的方程为:2x+3y=0;(2)若a≠0,则l的方程可设为:因为l过点(3,-2),知 =1,即a=1.所以直线l的方程为x+y=1,即为x+y-1=0.综合(1)､(2)可知:直线l的方程为2x+3y=0,或x+y-1=0.
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技 能 演 练(学生用书P71)
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基础强化1.过两点(2,5),(2,-5)的直线方程是( )A.x=5 B.y=2C.x=2 D.x+y=2
答案:C
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2.在x,y轴上截距分别为4,-3的直线方程是( )
答案:A
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3.过(x1,y1)和(x2,y2)两点的直线方程是( )C.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0
答案:C
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4.直线ax+by=1与两坐标轴围成的三角形的面积是( )
答案:D
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5.直线ax-y+a=0(a≠0)在两坐标轴上截距之和是( )A.a-1 B.1-aC.a+1 D.
解析:令x=0,得y=a.令y=0,得x=-1,故直线在两坐标轴上截距之和为a-1.
答案:A
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6.过(3,0)点与x轴垂直的直线方程为__________,纵截距为-2且与y轴垂直的直线方程为______________.
x=3
y=-2
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7.过(5,7)及(1,3)两点的直线方程为__________,若点(a,12)在此直线上,则a=__________.
解析:过点(5,7)及(1,3)两点的直线方程为
即x-y+2=0.∵点(a,12)在x-y+2=0上,∴a-12+2=0.∴a=10.
x-y+2=0
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8.已知直线l的斜率为6.且在两坐标轴上的截距之和为10,求此直线l的方程.
解法1:设直线方程为y=6x+b,令x=0,得y=b,令y=0得由题意 =10.∴b=12.所以所求直线方程为6x-y+12=0.
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能力提升9.求斜率为 且与两坐标轴围成的三角形的周长为12的直线l的方程.
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10.已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为3,且在两坐标轴上的截距之和为5,求这样的直线有几条?
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品 味 高 考(学生用书P72)
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11.(2010·安徽文4)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程为( )A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
解析:所求直线可设为x-2y+c=0.∵过点(1,0),∴1+c=0,∴c=-1.∴所求直线为x-2y-1=0.
答案:A
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12.(2009·上海)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是( )A.1或3 B.1或5C.3或5 D.1或2
解析:当k=3时,l1:y+1=0,l2:-2y+3=0.显然平行;验证当k=1时,l1:-2x+3y+1=0,l2:-4x-2y+3=0,显然不平行.因此,选C.
答案:C