2.2.3 直线与平面平行的性质定理 2.2.4 平面与平面平行的性质定理
（1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？
（2）已知直线a∥平面α，如何在平面α内找出和直线a 平行的一条直线？
平行或异面(即不相交)
思考
如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，直线A1B1//面CDD1C1.
E
F
思考
如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行.
1.直线与平面平行的性质定理
(2)该定理作用：“线面平行线线平行” 线面平行性质定理也是找平行线的重要依据.
(1)该定理中有三个条件：
(3)应用该定理，关键是经过直线找平面或作出平面与已知平面相交，并找出两平面的交线.
(4)平面外的两平行线同平行于同一个平面.
例 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证另一条也平行于这个平面.
注1：“已知直线a与平面平行，在内作一条直线c与直线a平行”， 这是一个成立而需要证明的命题，是不可直接应用的. （应以平面为媒介证明两直线平行）
练习
如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面的直线具有什么位置关系？
平行或异面
反过来，如何找出两个面内的平行线呢？
思考
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
2.平面与平面平行的性质定理
(2)该定理作用：“面面平行线线平行” 面面平行性质定理也是找平行线的重要依据.
(1)该定理中有三个条件：
(3)应用该定理，关键是构造第三个平面，并找出面与面的交线. 以平面为媒介来证线线平行.
(4)平面与平面平行的其他性质：
3)经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行.
例 求证：夹在两个平行平面间的两条平行线段相等.
例 求证：若两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
a
b
c
e
f
g
G
例 已知直线a//平面α ，点A是平面α另一侧的点，且点B，C，D∈a. 线段AB，AC，AD分别交面α于点E，F，G. 若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.
例 已知α∥β，AB交α、β于A、B，CD交α、β于C、D，AB∩CD=S，AS=8，BS=9，CD=34，求SC.
精讲精练P30 5/7/8
练习
例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1上一点. 已知BD1//平面AEC，求证:E是DD1的中点.
O
三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC上的点，A1B//平面ADC1 .求证:点D为BC的中点.
E
练习
例 如图，平面EFGH分别平行于CD，AB，而E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD上的点，且CD=a，AB=b，CD⊥AB. (1)求证:四边形EFGH为矩形.
(2)设DE=m，EB=n，求矩形EFGH的面积.
同理可证GF//EH,
故四边形EFGH为平行四边形.
a
b
m
n
1.已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH//FG. 求证EH//BD.
练习
2.如图，棱锥A-BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：BD//面EFGH.
练习
精讲精练P27 例3+ P28 5/9/10
3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，N是PB的中点，E为AD的中点. 过A，D，N三点的平面与PC交于M点.
求证:EN//DM.
练习
4.底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE：ED=2：1.在棱PC上是否存在点F，使得BF//面AEC.证明你的结论.
练习
例 如图所示的一块木料中，棱BC//平面A'B'C'D'，
(1) 要经过面A'B'C'D'内的一点P和棱BC将木料锯开，应该怎样画线？
(2) 所画的线和平面ABCD是什么位置关系？
解：(1) 在平面A'C'内，过点P作直线EF，使EF ∥ B'C'，并分别交棱A'B'，C'D'于点E，F. 连接BE，CF.
则EF，BE，CF就是应画的线.
E
F
例 如图所示的一块木料中，棱BC//平面A'B'C'D'，
(1) 要经过面A'B'C'D'内的一点P和棱BC将木料锯开，应该怎样画线？
(2) 所画的线和平面ABCD是什么位置关系？
(2)因为棱BC平行于平面A'C' ，平面BC'与平面A'C'交于B'C'，所以，BC ∥ B'C'.由(1)知，EF ∥ B'C' ，所以EF ∥ BC，因此EF ∥ BC，EF不在平面AC，BC在平面AC上，从而EF ∥平面AC.BE，CF显然都与面AC相交.
1.已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，画出过G和AP的平面.
2.点P在平面VAC内，画出过点P作一个截面平行于直线VB和AC.
练习
变：过点G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP//GH.
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
线面平行的判定定理：
线面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
小结
面面平行判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
面面平行性质定理:
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
小结
证明：因为α∩β=b，
所以a,b无公共点.
又因为a ∥α，
如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行.
back
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
back
2.如图，已知AB ∥平面α ，AC ∥ BD，且AC、BD与α分别相交于点C，D. 求证：AC=BD.
1.已知直线AB平行于平面α ，经过AB的两个平面和平面α相交于直线a，b. 求证：a ∥ b.
back
练习
证明:∵AC ∥ BD
∴AC与BD确定一个平面β ,与平面α相交于CD.
又∵AB ∥平面α ，∴AB ∥ CD
又由AC ∥ BD，得
ABDC是平行四边形.
∴AC=BD
α
A
B
C
D
β
3.如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这两条直线平行.
4.如果一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.
b
l
c
练习
back
H
G
back
1.求证:如果一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，那么它与另一个平面也相交.
B
.
γ
练习
back
①
③
⑤
⑥
2.α、β、γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同直线，则有一下列命题，不正确的_______.
②
④
②③④⑤
练习
back
(1) 直线a ∥平面α，平面α内有n条互相平行的直线，那么这n条直线和直线a( )
A.全平行
B.全异面
C.全平行或全异面
D.不全平行或不全异面

(2)直线a ∥平面α，平面α内有n条交于一点的直线，那么这n条直线和直线a 平行的 ( )
A.至少有一条 B.至多有一条
C.有且只有一条 D.不可能有
C
B
练习
back
如图，正方体ABCD——A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：C1,O,M三点共线.
找面与面的交线，找线与面的交点