2．1.3　空间中直线与平面之间的位置关系
2．1.4　平面与平面之间的位置关系
一、阅读教材P48～50，填空：
1．如果一条直线和一个平面 ，那么我们就说这条直线和这个平面平行．
没有公共点
2．直线与平面的位置关系
3.直线a在平面α外，是指直线a和平面α 或 ．
4．两平面平行的定义： ；
相交
平行
如果两个平面没有公共点，
那么这两个平面平行
5．两平面的位置关系
二、回答下列问题
1．过平面α外一点P可作________条直线与平面α平行；
[答案]　无数条
2．判断下列命题是否正确．
(1)如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；
(2)过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；
(3)如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线都不相交．
[解析]　(1)错，当直线与平面相交时，直线不在平面内．
(2)正确．
(3)正确，当直线与平面平行时，直线与平面无公共点，故与平面内的任何直线都无公共点．
本节学习重点：直线、平面与平面的位置关系．
本节学习难点：两条直线与同一平面的位置关系和相交平面的画法．
证明直线在平面内并不用“有无数公共点”，而应用公理1，只要有两个公共点即可．若直线l∥平面α，则在平面α内存在无数条直线与l平行；若a是α内任意一条直线，则l与a一定无公共点，故l与a平行或异面，即不一定有l∥a；
若直线a∥平面α，直线b∥平面α时，a与b可能平行，也可能相交或异面．
若直线a∥平面α，b∥a时，可能有b∥α，也可能有b⊂α.
[例1]　下列命题
(1)直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；
(2)若直线a在平面α外，则a∥α；
(3)若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；
(4)若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．
其中真命题的个数为 (　　)
A．1　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
[解析]　对于(1)，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，
∴l不一定平行于α.∴(1)是假命题．
对于(2)，∵直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行．∴(2)是假命题．
对于(3)．∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，
∴a不一定平行于α.∴(3)是假命题．
对于(4)，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，
∴a可以与平面α内的无数条直线平行．∴(4)是真命题．综上，真命题的个数为1个．∴应选A.
下列命题中，a、b、l表示直线，α表示平面．
①若a∥α，b∥α，则a∥b；
②若a∥b，b∥α，则a∥α；
③若a⊂α，b⊄α，且a，b不相交，则a∥b；
④若a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊄α，且l和a，b均不相交，则l∥α.
其中正确的命题有 (　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案]　A
[解析]　两直线a，b都平行于平面α时，这两条直线可能相交，也可能平行或异面，故①错；如图(1)满足a∥b，b∥α，但a在平面α内，故②错；如图(2)满足a⊂α，b⊄α，a与b不相交，但a与b不平行，故③错；如图(3)满足a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊄α，且l与a、b均不相交，但l与α相交，故④错，因此选A.
[例2]　如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
[解析]　如下图中的甲、乙分别为两个平面平行、相交的情形．∴应选C.
已知平面α∥平面β，直线a⊂α，则直线a与平面β的位置关系为________．
[答案]　a∥β
[解析]　∵α∥β，∴α与β无公共点，
∵a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.
[例3]　画出两种不同位置的两个相交平面．
[解析]　常见的有以下几种不同位置(只要画出两个就行)
[例4]　平面α外一条直线a平行于平面α内一条直线b，求证a∥α.
[分析]　可由线面平行的定义，直接证明直线a与平面α无公共点；或用反证法否定直线a与平面α相交，即如果a与α相交，就会导出与直线的平行公理矛盾，或与平面的基本性质矛盾，或与已知条件a∥b矛盾，或与空间点共面或平面重合矛盾等等．
[解析]　证法1：∵a∥b，且b⊂α，
∴由a，b确定的平面β与平面α交于直线b.
∴平面β内除b上的点外都不在平面α内．
∵a，b无公共点，
∴a上所有的点都不在平面α内．∴a∥α.
证法2：∵a⊄α，∴a∥α或a∩α＝A.
若a∩α＝A，
∵a∥b，∴A点不在直线b上．
在α内过A点作直线c∥b，
∵a∥b，∴a∥c.
这与a，c相交于A点相矛盾．
∴a与α相交不可能．∴a∥α.
证法3：假设直线a与平面α相交于A点．
∵a∥b，∴A∉b.
∵a，b确定的平面β与由b及点A确定的平面α都经过直线b与点A，∴α与β重合．
∴a⊂α.与题设a⊄α矛盾．∴a∥α.
证法4：假设直线a与平面α相交于点A.
在a上另外取一点B，则点B在α外．
在直线b上任取两点C、D，连BC、AD.
∵a∥b，∴A、B、C、D四点共面，
∵经过不共线三点A、C、D有且仅有一个平面α，
∴四点A、B、C、D共面于α，这与B∉α矛盾，故假设错误．∴a∥α.
求证：两条平行线中的一条与一个平面相交，则另一条也与该平面相交．
[解析]　已知：直线a∥b，a∩平面α＝P，如右图，
求证：直线b与平面α相交．
分析：a与b平行，可知a、b确定一个平面，设为β.平面α和平面β有公共点P，因此必有一条交线l.b与l有公共点，因此b与平面α也有公共点．
证明：∵a∥b，∴a和b确定一平面，设为β.
∵a∩α＝P，a⊂β
∴平面α和平面β相交于过P点的一条直线，设为l.
∵在平面β内l与两条平行直线a、b中的一条直线a相交，∴l必与b相交，设交点为Q
又∵b不在平面α内(若b在α内，则b是α与β的交线，∴b与l重合，又l∩a＝P，∴b∩a＝P与b∥a矛盾)，故直线b和平面α相交．
总结评述：证明直线和平面相交的方法有：
(1)反证法：即否定直线在平面内，否定直线与平面平行．
(2)证明直线与平面只有一个公共点．
1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的
(　　)
A．惟一一条直线不相交
B．仅两条相交直线不相交
C．无数条直线不相交
D．任意一条直线都不相交
[答案]　D
[解析]　根据直线和平面平行定义，易知排除A、B.对于C，无数条直线可能是一组平行线，
∴C表达不确切，应排除C.
与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a与平面α平行，∴D正确．
2．下列四个命题中假命题的个数是(　　)
①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行
②两条直线没有公共点，则这两条直线平行
③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行
④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．
A．4　　 　B．3　　 　C．2　　 　D．1
[答案]　A
[解析]　①两条直线平行、相交或异面
②平行或异面
③平行、相交或异面
④无数条≠任意一条，当直线在平面内时，平面内有无数条直线与这条直线无公共点．∴①②③④均为假命题．
3．若三个平面两两相交，则它们交线的条数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．1或3
[答案]　D