2.1.1指数与指数幂的运算
第二章 基本初等函数（I）
问题:当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内含量P与死亡年数t之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢
我们可以先来考虑这样的问题:
(1)当生物体死亡了5730, 5730×2, 5730×3,…年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
创设情境
(2)当生物体死亡了6000年,10000年,100000年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
(3)由以上的实例来推断关系式应该是什么?
考古学家根据（*）式可以知道，生物死亡t年后，体内的碳14含量P的值。
(*)
1.回顾初中知识,根式是如何定义的?它有哪些性质？
（1）若x2=a，则x叫a的 .如：4的平方根是___.
一个正数的平方根有 个，它们互为 数；
负数没有平方根； 零的平方根是 .
平方根
±2
两
相反
0
（2）若x3=a，则x叫a的 .如：8的立方根是____,－8的立方根是____。
一个正数的立方根是一个 数，
一个负数的立方根是一个 数，0的立方根是 .
2
-2
正
负
0
立方根
复习引入
根据上面的结论对于x4=a,x5=a ,x6=a, 我们又能得到什么呢？
一个数的四次方等于a，则这个数x叫a的 ；
一个数的五次方等于a，则这个数x叫a的 ；
一个数的六次方等于a，则这个数x叫a的 ；
四次方根
五次方根
六次方根
……
一个数的n次方等于a，则这个数叫a的 ；
n次方根
一.方根的定义:
如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
即 如果一个数的n次方等于a(n>1，且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根.
基本概念
二.根式的概念
式子 叫做根式，这里的n叫做根指数，a叫做被开方数
8的3次方根是___.
-8的3次方根是____.
-32的5次方根是___.
128的7次方根是___.
奇次方根
1.正数的奇次方根是一个正数,
2.负数的奇次方根是一个负数.
例1:试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.
2
2
-2
-2
三.n次方根的性质
49的2次方根是____.
81的4次方根是_____.
偶次方根
2.负数的偶次方根没有意义
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数
64的6次方根是_____.
例2:试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.
±7
±3
±2
正数的奇次方根是正数.
负数的奇次方根是负数.
零的奇次方根是零.
(1) 奇次方根有以下性质：
(2)偶次方根有以下性质：
正数的偶次方根有两个且是相反数，
负数没有偶次方根，
零的偶次方根是零.
知识小结
同步练习
（2）由（1）你能发现什么结论？
5
－27
16
练习
（2）由（1）你能发现什么结论？
3
－2
2
－3
2
3
2
3
2
3
3
2
（4）由（3）你能发现什么结论？
例1.求下列各式的值
例2.若 则a 的取值范围是______.
数学运用
分数指数幂
1.根式定义
正数的奇次方根是正数.
负数的奇次方根是负数.
零的奇次方根是零.
(1) 奇次方根有以下性质：
2.n次方根的性质
(2)偶次方根有以下性质：
正数的偶次方根有两个且是相反数，
负数没有偶次方根，
零的偶次方根是零.
复习引入
4.三个公式
n为奇数时
n为偶数时
3.如果xn=a,那么
整数指数幂是如何定义的？有何规定？
整数指数幂有那些运算性质?(m,n ∈Z)
(1)观察以下式子,并总结出规律:(a>0)
结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.
知识探究
(2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗?
类比
总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式.
(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?
43的5次方根是
75的3次方根是
a2的3次方根是
a9的7次方根是
结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的.
综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义.
3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
1.正数的正分数指数幂的意义：
2.正数的负分数指数幂的意义：
基本概念
【1】用根式表示下列各式:(a＞0)
【2】用分数指数幂表示下列各式：
同步练习
4.有理指数幂的运算性质
指数的概念从整数指数推广到了有理数指数,整数指数幂的运算性质对于有理指数幂都适用.
例1、计算下列各式（式中字母都是正数）
例题剖析
例2、计算下列各式
三.无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 ( >0, 是无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
C
2.2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于( )
A.2-2k B. 2-(2k-1) C. -2-(2k+1) D.2
C