1.3.2函数的奇偶性
观察下图，思考并讨论以下问题：
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？
(2) 如何利用函数解析式描述这些特征的？
f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)
f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)
对于定义域内任意的一个x,都有f(-x)=f(x)
即图像关于y轴对称
1．偶函数 (even function)
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？
f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
对于定义域内任意的一个x,都有f(-x)=-f(x),
即函数图象关于原点对称。
f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
2．奇函数(odd function)
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)= － f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
讲解P35. 思考
练习：P36.2
试卷填空题1
深化探究1：
奇函数和偶函数的定义域有何特征？
奇偶函数的定义域关于原点对称。
深化探究2：
注意：
1、函数的奇偶性是函数的整体性质；对定义域内任意一个x都必须成立；
2、奇偶函数的定义域关于原点对称；
3、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.
二、函数奇偶性和单调性的关系：
例：P39.B组3题
结论：
(1)如果函数f(x)是一个奇函数,那么它在关于原点对
称的区间上的单调性是相同的.
(2)如果函数f(x)是一个偶函数,那么它在关于原点对
的区间上的单调性是相反的.
练习：试卷选择题2.3
三、判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；
(2)、计算f(-x);
(3)、判断f(-x)与f(x)的关系；
(4)、若f(-x)=-f(x)，则为奇函数；
若f(-x)=f(x)，则为偶函数.
例：判断下列函数的奇偶性
(1)解：定义域为R ∵ f(-x)=(-x)4=f(x)
即f(-x)=f(x)
∴f(x)偶函数
(2)解：定义域为R f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x)
即f(-x)=-f(x)
∴f(x)奇函数
(3)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)
即f(-x)=-f(x)
∴f(x)奇函数
(4)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x)
即f(-x)=f(x)
∴f(x)偶函数
例：判断下列函数的奇偶性：
练习：判断下列函数的奇偶性：
扩充：分段函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性：
四、一些题型
题型一、奇偶性的定义的运用

原理：若函数是奇函数，则f(-x)=-f(x);
若函数是偶函数，则f(-x)=f(x);

例：试卷选择题1

练习：选择题4.6；
一般有下列结论:
偶函数 + 偶函数=偶函数;
奇函数 + 奇函数=奇函数.
偶函数 + 奇函数=非奇非偶函数.
偶函数 X 偶函数=偶函数;
奇函数 X 奇函数=偶函数;
偶函数 X 奇函数=奇函数.
题型二、利用函数奇偶性求函数值
原理：若函数y＝f(x)为偶函数，f(x0)＝M，则f(－x0)＝M.
若函数y＝f(x)为奇函数，f(x0)＝M，则f(－x0)＝－M.
例：已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那
么f(2)等于________．

【点拨】可设F(x)＝f(x)＋8为奇函数，即本题利用了F(2)＋F(－2)＝0.
互动探究1　在本例中，若f(m)＝10，则f(－m)＝________.
解析：令F(x)＝f(x)＋8，则
F(m)＋F(－m)＝0，
∴f(m)＋8＋f(－m)＋8＝0，
∴f(－m)＝－f(m)－16＝－10－16＝－26.
答案：－26
题型三、利用函数奇偶性求函数解析式
原理：奇偶函数的图象有对称性，根据对称性，可
求另一部分的解析式．

例：若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)的解析式．

【思路点拨】　解答本题可将x>0的解析式转化到x<0上求解．
【点拨】　此类问题的一般做法是：
①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．
②要利用已知区间的解析式进行代入．
③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
互动探究　若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数，f(0)＝0”，其他条件不变，则f(x)的解析式又是什么？
函数的奇偶性是函数定义域内的整体性质，函数的单调性是定义域内的局部性质，可根据函数的奇偶性判断对称区间的单调性．
例1：设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)＞0，求实数m的取值范围．
题型四、函数的奇偶性与单调性的综合应用
【点拨】　本题易丢掉函数的定义域[－2,2]而出错．
练习：
例2：设定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)单调递减，若g(1－m)＜g(m)成立，求m的取值范围．
解：∵g(x)在[－2,2]上是偶函数，
∴g(1－m)＝g(|1－m|)，
g(m)＝g(|m|)．
练习：