1.3 函数的基本性质

——奇偶性
在初中学习的轴对称图形和中心对称
图形的定义是什么？
复习回顾
2. 请分别画出函数f (x)＝x3与g(x)＝x2的
图象.
在初中学习的轴对称图形和中心对称
图形的定义是什么？
复习回顾
1. 奇函数、偶函数的定义
讲授新课
1. 奇函数、偶函数的定义
奇函数：设函数y＝f (x)的定义域为D，如
果对D内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，
则这个函数叫奇函数.
讲授新课
1. 奇函数、偶函数的定义
奇函数：设函数y＝f (x)的定义域为D，如
果对D内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，
则这个函数叫奇函数.
偶函数：设函数y＝g (x)的定义域为D，如
果对D内的任意一个x，都有g(－x)＝g(x)，
则这个函数叫做偶函数.
讲授新课
问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任
意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的
一个性质？与单调性有何区别？
问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任
意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的
一个性质？与单调性有何区别？
强调定义中“任意”二字，说明函
数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，
它不同于函数的单调性 .
问题2：－x与x在几何上有何关系？具有
奇偶性的函数的定义域有何特征？
问题2：－x与x在几何上有何关系？具有
奇偶性的函数的定义域有何特征？
奇函数与偶函数的定义域的特征是
关于原点对称.
问题3：结合函数f (x)＝x3的图象回答以
下问题：
(1)对于任意一个奇函数f (x)，图象上的
点P (x，f (x))关于原点对称点P'的坐标
是什么？点P'是否也在函数f (x)的图象
上？由此可得到怎样的结论.
(2)如果一个函数的图象是以坐标原点为
对称中心的中心对称图形，能否判断它
的奇偶性？
2. 奇函数与偶函数图象的对称性
如果一个函数是奇函数，则这个函
数的图象以坐标原点为对称中心的中心
对称图形. 反之，如果一个函数的图象是
以坐标原点为对称中心的中心对称图形，
则这个函数是奇函数.
如果一个函数是偶函数，则它的图
形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，
如果一个函数的图象关于y轴对称，则这
个函数是偶函数.
2. 奇函数与偶函数图象的对称性
例1 判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5；
(2) f (x)＝x2＋1；
(3) f (x)＝x＋1；
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；
(5) f (x)＝0.
例1 判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(3) f (x)＝x＋1；
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；
(5) f (x)＝0.
例1 判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1； (偶函数)
(3) f (x)＝x＋1；
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；
(5) f (x)＝0.
例1 判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1； (偶函数)
(3) f (x)＝x＋1； (非奇非偶函数)
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；
(5) f (x)＝0.
例1 判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1； (偶函数)
(3) f (x)＝x＋1； (非奇非偶函数)
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；(非奇非偶函数)
(5) f (x)＝0.
例1 判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1； (偶函数)
(3) f (x)＝x＋1； (非奇非偶函数)
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；(非奇非偶函数)
(5) f (x)＝0. (既是奇函数又是偶函数)
例1 判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1； (偶函数)
(3) f (x)＝x＋1； (非奇非偶函数)
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；(非奇非偶函数)
(5) f (x)＝0. (既是奇函数又是偶函数)
既是奇函数又是偶函数的函数是函
数值为0的常值函数. 前提是定义域关于
原点对称.
第一步先判断函数的定义域是否关
于原点对称；
第二步判断f (－x)＝f (x)还是判断
f (－x)＝－f (x).
归 纳：
(1)根据定义判断一个函数是奇函数
还是偶函数的方法和步骤是：
(2)对于一个函数来说，它的奇偶性
有四种可能：
是奇函数但不是偶函数；
是偶函数但不是奇函数；
既是奇函数又是偶函数；
既不是奇函数也不是偶函数.
归 纳：
(4)
(7)
(8)
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性
(1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；
(3) h (x)＝x3＋1；
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(6) g (x)＝x (x＋1)；
练 习
(4)
(7)
(8)
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性
(1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；
(3) h (x)＝x3＋1；
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(6) g (x)＝x (x＋1)；
练 习
(4)
(7)
(8)
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性
(1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
(3) h (x)＝x3＋1；
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(6) g (x)＝x (x＋1)；
练 习
(4)
(7)
(8)
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性
(1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
(3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(6) g (x)＝x (x＋1)；
练 习
(4)
(7)
(8)
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性
(1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
(3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶)
(非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(6) g (x)＝x (x＋1)；
练 习
(4)
(7)
(8)
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性
(1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
(3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶)
(非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(6) g (x)＝x (x＋1)；
练 习
(偶)
(4)
(7)
(8)
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性
(1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
(3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶)
(非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(6) g (x)＝x (x＋1)；
练 习
(非奇非偶)
(偶)
(4)
(7)
(8)
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性
(1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
(3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶)
(非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(6) g (x)＝x (x＋1)；
练 习
(奇)
(非奇非偶)
(偶)
(4)
(7)
(8)
(偶)
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性
(1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
(3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶)
(非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(奇)
练 习
(非奇非偶)
(偶)
2. 判断下列论断是否正确
练 习
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点
对称，则这个函数关于原点对称且这
个函数为奇函数；
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义
域关于坐标原点对称.
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对
称，则这个函数为偶函数；
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则
这个函数为偶函数.
2. 判断下列论断是否正确
(错)
练 习
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点
对称，则这个函数关于原点对称且这
个函数为奇函数；
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义
域关于坐标原点对称.
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对
称，则这个函数为偶函数；
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则
这个函数为偶函数.
2. 判断下列论断是否正确
(错)
(对)
练 习
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点
对称，则这个函数关于原点对称且这
个函数为奇函数；
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义
域关于坐标原点对称.
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对
称，则这个函数为偶函数；
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则
这个函数为偶函数.
2. 判断下列论断是否正确
(错)
(对)
(错)
练 习
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点
对称，则这个函数关于原点对称且这
个函数为奇函数；
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义
域关于坐标原点对称.
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对
称，则这个函数为偶函数；
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则
这个函数为偶函数.
2. 判断下列论断是否正确
(错)
(对)
(错)
(对)
练 习
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点
对称，则这个函数关于原点对称且这
个函数为奇函数；
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义
域关于坐标原点对称.
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对
称，则这个函数为偶函数；
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则
这个函数为偶函数.
4. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的
偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是
偶函数？是不是奇函数？为什么？
3. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函
数吗？可以是偶函数吗？为什么？
练 习
4. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的
偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是
偶函数？是不是奇函数？为什么？
3. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函
数吗？可以是偶函数吗？为什么？
练 习
(不能为奇函数但可以是偶函数)
4. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的
偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是
偶函数？是不是奇函数？为什么？
3. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函
数吗？可以是偶函数吗？为什么？
练 习
(不能为奇函数但可以是偶函数)
(是偶函数)
5. 如图⑴，给出了奇函数y＝f (x)的局部
图象，求f (－4).
6. 如图⑵，给出了偶函数y＝f (x)的局部
图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.
练 习
⑴
⑵
例2 (1)设f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，
且
(2)设函数f (x)是定义在(－∞, 0)∪(0,＋∞)
上的奇函数，又f (x)在(0, ＋∞)上是减函
数，且f (x)＜0，试判断函数
在(－∞，0)上的单调性，并给出证明.
求函数f (x)，g(x)
的解析式；
2. 奇函数、偶函数图象的对称性；
课堂小结
1. 奇函数、偶函数的定义；
3. 判断函数奇偶性的步骤和方法.
1．阅读教材P.33 -P.36；
2．《习案》：作业11.
课后作业