1.3.2 函数的奇偶性
引 例
1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) ,并画出它的图象．
解:
f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4
f(-2)=f(2)
f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1
f(-1)=f(1)
f(-x)=(-x)2=x2
f(-x)=f(x)
思考 :(1)这个函数图象有什么特征吗？
(2)从解析式上如何体现上述特征？
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
1. 偶函数的概念

2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),
　f(-1),f(1)及f(-x)
解:
f(-2)=(-2)3=-8, f (2)=8
f(-2)= - f(2)
f(-1)=(-1)3=-1, f(1)=1 f(-1)= - f(1)
f(-x)=(-x)3=-x3 f(-x)=- f(x)
(-x,-y)
(x,y)
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
2.奇函数的概念
如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.
(1)奇、偶函数定义的反过来也成立,即若f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立.若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立.
(2)判断函数是否具有奇偶性.首先要看函数的定义域是否关于原点对称,即函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提．
注意事项
(3) 函数的奇偶性是函数的整体性质;而函数的单调性是函数的局部性质.
例1.判断下列函数的奇偶性
定义域不对称的函数无奇偶性，既不是奇函数也不是偶函数。
（2）函数 是定义在
上的偶函数,则该函数的值域是_____.
定义域对称的非零常数函数仅是偶函数,而零函数既是奇函数又是偶函数.
3.奇偶函数图象的性质:
(2)偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数
奇偶函数图象的性质可用于：
① 判断函数的奇偶性.
②简化函数图象的画法,
(1)奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.
知识探究
思考1:是否存在函数f(x)既是奇函数又是偶函数？若存在，这样的函数有何特征？有多少个？
f(x)=0
思考2:若f(x)是在原点有意义的奇函数，那么 f(0)的值如何？
f(0)=0
思考3:复合函数奇偶性如何？
例2. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+2x； (2) f(x)=2x4+3x2；
解:
∵f(-x)=(-x)3+2(-x)
= -x3-2x
= -(x3+2x)
= - f(x)，
∴f(x)为奇函数．
∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2
=2x4+3x2
∴f(x)为偶函数．
函数定义域为R．
解:
函数定义域为R．
= f(x)，
(4) f(x)=x+1
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
奇函数;偶函数;
既奇又偶函数;
非奇非偶函数.
解:函数定义域为R．
∵ f(-x)= -x+1， - f(x)= -x-1,
∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠ –f(x).
∴f(x)为非奇非偶函数.
解:函数定义域为 [0 ,+∞)．
∵ 定义域不关于原点对称，
∴f(x)为非奇非偶函数．
判定函数的奇偶性的步骤：
(1)先求函数的定义域；
①若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数.
②若定义域是关于原点对称的区间,进入第二步;
(2)计算f(－x)化向 f ( x ) 的解析式；
①若等于 f ( x ),则函数是偶函数,
②若等于－f ( x ),则函数是奇函数,
③若不等于 ,则函数是非奇非偶函数
(3)结论.
有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑判定f(-x)±f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=±1.
练习：判断下列函数的奇偶性
∴f(x)为奇函数.
解:定义域为{x|x≠0},
即 f(-x)= - f(x),
(2)f(x)=5
解:f(x)的定义域为R.
∵ f(-x)=f(x)=5
∴f(x)为偶函数.
(4)f(x)=|x+1|-|x-1|
∴f(x)既是偶函数, 又是奇函数.
解:函数的定义域为{-1,1},
例3.已知f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x2－2x,求当 x＜0时,f(x)的解析式,并画出此函数f(x)的图象.
解:∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)=－f(x).
∵当x≥0时,f(x)=x2－2x,
∴当x＜0时,-x>0,
f(-x) = (-x)2-2(-x) = x2+2x,
即 -f(x)= (x2+2x),∴ f(x)=-x2-2x.
复习回顾
1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x)⇔f(x)为奇函数.
如果都有f(-x)=f(x) ⇔f(x)为偶函数.
一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称.
一个函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称.
2.两个性质:
3.判断函数奇偶性的步骤
①考查函数定义域是否关于原点对称；
②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立；
③作出结论.
作业:课本P39 A组 T6， B组 T3
作业