1.3.2函数的基本性质
奇偶性
【教学重点】
【教学目标】
【教学难点】
课程目标
教法:自学辅导法、讨论法、讲授法
学法:归纳—讨论—练习
【教学方法】
【教学手段】
多媒体电脑与投影仪
奇函数图象的对称性
了解函数的奇偶性与图象的对称性之间的关系
偶函数图象的对称性
奇偶函数图象的性质；
熟练解决函数单调性、奇偶性综合问题.
1.函数奇偶性的定义．
定义法
利用性质
2.函数奇偶性的判定
图象法:画出函数图象
①考查函数定义域是否关于原点对称；
②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立；
③作出结论.
复习回顾
一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称.
一个函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称.
3.性质:
奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
(2)在定义域的关于原点对称的公共区间内
奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶.
偶×偶=偶；奇×奇=偶；偶×奇=奇.
(1)奇函数、偶函数的图象特点
(3)奇偶性与单调性的关系
【1】已知 f(x) 是定义在Ｒ上的奇函数,当x＞0时, f(x)=x2+x-1, 求函数f(x)的表达式．
引申：如果改为偶函数呢？
练一练
【2】如果奇函数f(x)在区间[3,7]上为增函数,且最小值是5,则在区间[-7,-3]上有没有最大值？是多少？
解:如图所示
函数有最大值 –5.
练一练
【4】设函数f(x)的定义域关于原点对称,判断下列函数的奇偶性：
①F(x)=[f(x)+f(-x)]/2;
②G(x)=[f(x)-f(-x)]/2.
【点评】任意一个关于原点对称的函数,总可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和.
【3】设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:
(1) F(x)=f(x)+f(-x) (2)F(x)=f(x)-f(-x)
练一练
例题讲解
例1.若 f(x) 为偶函数，g(x)为奇函数,且 求 f(x), g(x).
例2.定义在[-1,1]上的函数f(x) 是奇函数,并且在[-1,1] 上f(x)是增函数,求满足条件 f(1-a)+ f(1-a2)≤0的 a 的取值范围.
解:由f(1-a)+f(1-a2)≤0,
∵ f (x)是奇函数,
∵f(x)在[-1,1]上是增函数,
故 a 的取值范围为
例3．已知函数f(x)=-x2+ax+b2+b+1(a,b∈R).对任意的实数x，都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x∈[-1 ,1] 时，f(x)>0恒成立 ,求a 的值及 b 的取值范围.
解：由f(1-x)=f(1+x) 恒成立,得
f(x)的对称轴为x=1, 即得 a=2.
又∵ f(x)在区间[-1,1]上为单调增函数,
∴当x∈[-1,1]时, f(x)>0恒成立 ,
即有f(-1)>0 成立.
也就是b2+b-2>0, 解得b<-2, 或 b>1.
∴ a =2 , b∈(-∞ ,-2)∩(1,+ ∞).
【1】若 f (x) 是二次函数, f (2－x)=f (2+x) 对任意实数 x 都成立,又知 f (3)＜f (π),比较 f (-3) 与 f (3) 的大小？
抛物线的对称轴为 x = 2,
∵ f (3)＜f (π),
∴ 抛物线的开口向上.
f(x)在 (－∞，2 ] 上是减函数,
∵ f ( 3 ) = f ( 2 + 1 ) = f ( 2 －1 ) = f ( 1 )
故 f (－3 ) ＞ f ( 1 ) = f ( 3 )
变式练习
f (3)
f (－3)
结论：若函数 f ( x ) 满足 f (－x + m ) = f ( x + n )
例4．已知函数 f (x) 对于任何实数 x, y 都有 f (x+y)+f(x-y)=2f (x) f (y) 且 f (0)≠0．
求证: f (x) 是偶函数.
令 x = y = 0, 则
令 x = 0 , 则
故 f (x)是偶函数.
解：已知函数 f (x) 对于任何实数 x, y 都有 f (x+y)+f(x-y)=2f (x) f (y)，
变式练习
【1】若对一切实数x, y 都有
(1)求f(0)的值;
(2)判定f(x)的奇数偶性;
(3)若f(1)=8,求f(-n),n∊N*.
令 x = y = 0, 则
令y = -x , 则
故 f (x)是奇函数.
解:因为对于任何实数 x, y 都有
课堂小结
1.函数奇偶性的定义．
定义法
利用性质
2.函数奇偶性的判定
图象法:画出函数图象
①考查函数定义域是否关于原点对称；
②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立；
③作出结论.
想一想
布置作业
(1)课本P.39A 5
(2)学案P.27-28
P.39Ｂ 2
课外作业
再见
【例3】求f(x)=x2-2ax+2在 [ 2,4 ]上的最小值.
解:f (x) = (x-a) 2+2-a 2,
① 当a＜2时,
②当2≤a＜4 时，
③当a≥4时,
∴ f(x)min=f(2)=6－4a;
f(x)在[ 2,4 ]上是增函数,
∴ f(x)min=f(a)=2－a2.
f(x)在[2,4]上是减函数.
∴ f(x)min=f(4) = 18－8a.
几何画板
求最大值：
① 当 a ＜ 3 时，
② 当 a ≥ 3 时，
f ( x ) max = f ( 4 ) = 18 －8a
f ( x ) max = f ( 2 ) = 6 －4a
例6.已知f(x)=x2－4x－4,x∈[t,t+1](t∈R )，
求 f(x)的最小值g(t)的解析式.
解:f(x)=(x－2)2－8
(1)当2∈[t,t+2],即1≤t≤2时，
g(t)=f(2)=－8;
(2) 当 t ＞ 2 时，
∴g(t) = f(t)=t2－4t－4;
(3)当t+1＜2,即t＜1时,
f(x)在[t,t+1]上是减函数,
∴g(t)=f(t+1)=t2-2t -7.
综上所述:g ( t ) =
f(x)在[t,t+1]上是增函数，
【1】判断 的奇偶性.
解:①当x＞0时,－x＜0,
f(-x)=(-x)2+(-x)-6=x2-x-6 = f (x);
②当 x ＜ 0 时,-x ＞ 0,
f (-x)=(-x)2-(-x)－6=x2+x-6 = f (x) ;
③当 x = 0 时,－x = 0,
f(-x)=f(0)=f(x).
综上所述： f ( x ) 是偶函数
变式练习一