1.3.2 奇偶性
第一章 集合与函数概念
1.3 函数的基本性质
思考1:这两个函数的图象有何共同特征？
x
y
o
x
y
o
观察下列两个函数的图象：
(1) (2)
关于Y轴对称
思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(a)与f(-a)有什么关系？
f(-1)= f(1)，f(-2) = f(2)，f(-a) = f(a)
1.偶函数
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f(x)为偶函数.
偶函数的定义域有什么特征？
不是
偶函数的定义域关于原点对称
偶函数的定义：
偶函数的图象关于y轴对称，
是
不是
不是
练1：判断下列函数是否为偶函数？（口答）
观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？
f(-3)=-3=-f(3)
f(-2)=-2=-f(2)
f(-1)=-1=-f(1)
f(-3)=-1/3=-f(3)
f(-2)=-1/2=-f(2)
f(-1)=-1=-f(1)
2．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)= － f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
奇函数图象关于原点对称
（奇函数的定义域关于原点对称）
3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即
若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.
若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.
2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即必须定义域关于原点对称）．
1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
注意：
是
不是
不是
练2：判断下列函数是否为奇函数？（口答）
P35例5、判断下列函数的奇偶性：
(1)解：定义域为R ∵ f(-x)=(-x)4=f(x)
即f(-x)=f(x)
∴f(x)偶函数
(2)解：定义域为R f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x)
即f(-x)=-f(x)
∴f(x)奇函数
(3)解：定义域为{x|x≠0}
即f(-x)=-f(x)
∴f(x)奇函数
(4)解：定义域为{x|x≠0}
即f(-x)=f(x)
∴f(x)偶函数
(5). f(x)=x2 x∈[- 1 , 3]
解: （5）∵定义域不关于原点 对 称
∴f(x)为非奇非偶函数
解析：　①当x>0时，－x<0
f(－x)＝－x－2＝f(x)
②当x<0时，－x>0
f(－x)＝－(－x)－2＝x－2
＝f(x)
③当x＝0时，f(－x)＝0＝f(x)
∴ 总有f(－x) ＝f(x)
∴f(x)是偶函数．
例2
练习3.利用定义判断下列函数的奇偶性
(2) . f(x)= - x2 +1
(4) . f(x)=x2+x
既奇又偶函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
(3). f(x)=0
非奇非偶函数
奇函数
偶函数
既奇又偶函数
非奇非偶函数
根据奇偶性,函数可划分为四类:
既是奇函数又是偶函数的函数是函
数值为0的常值函数.
（前提是定义域关于原点对称. ）
（小结）用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；
(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
注意：
（3）、下结论:是奇函数还是偶函数
若可以作出函数图象的，根据奇偶函数图像的特征去判断函数的奇偶性。
①.判断函数的奇偶性。
②.简化函数图象的画法。
③. 求函数的解析式
④.判断函数的单调性
（第2课时）奇偶函数图象的性质可用于：
例1、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.
解：画法略
例2、已知函数y=f(x)是奇函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.
练习4：P36第2题
具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上
具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上
具有相反的单调性．
P45B组第6题；
结论：
如图，给出了偶函数y＝f (x)的局部
图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.
练 习5
小结
作业：
练习5：P36第1题
练习5：P36第1题
偶函数
偶函数
奇函数
奇函数