第2课时 函数的最大值、最小值
1．通过对一些熟悉函数图象的观察、分析，理解函数最大值、最小值的定义．
2．会利用函数的单调性求函数的最值．
课前自主学习
1．最大值的概念：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有________；
(2)存在x0∈I，使得_________.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．
2．最小值的概念：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有________ ；
(2)存在x0∈I，使得________.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．
自学导引
f(x)≤M
f(x0)＝M
f(x)≥M
f(x0)＝M
1．函数最大值或最小值的几何意义是什么？
答：函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标．
自主探究
注意：(1)在给定的区间内，当某个代数式的符号无法确定时(如本题中x1x2－a)，可取极端情况(如x1＝x2)入手分析，以此为界分类讨论．
1．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 (　　)
A．f(－2)，0 B．0,2
C．f(－2)，2 D．f(2)，2
预习测评
解析：由函数最值的几何意义知，当x＝－2时，有最小值f(－2)；当x＝1时，有最大值2.
答案：C
2．函数y＝ax＋1(a<0)在区间[0,2]上的最大值与最小值分别为 (　　)
A．1,2a＋1 B．2a＋1,1
C．1＋a,1 D．1,1＋a
解析：a<0，所以一次函数在区间[0,2]上是减函数，当x＝0时，函数取得最大值为1；当x＝2时，函数取得最小值为2a＋1.
答案：A
3．函数y＝2x2＋1，x∈N*的最小值为________．
解析：∵x∈N*，∴y＝2x2＋1≥3.
答案：3
答案：20
课堂讲练互动
一、函数的最大(小)值的理解
1．定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素．如f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对(2)中“存在”一词的理解．
2．对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)成立．“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．
要点阐释
3．这两个条件缺一不可，若只有(1)，M不是最大(小)值，如f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是最大值了．最大(小)值的核心就是不等式f(x)≤M(或f(x)≥M)，故也不能只有(2)．
二、求函数最值的方法
1．求函数最大(小)值的常用方法有：
(1)值域：求出函数f(x)的值域，即可求其最值 (注意必须确保存在函数值里的最值)；
(2)单调性法．通过研究函数的单调性来求函数的最值；
2．当一般的求最值方法难以奏效时，不妨研究函数的单调性试一试，单调性法是求有些非常规函数最值的有效方法．
(1)一般地，若y＝f(x)与y＝g(x)有相同的定义域，且在定义域内有相同的单调性，则函数y＝f(x)＋g(x)与它们也有相同的单调性．
(2)函数y＝f(x)的最大值和最小值也可用下列符号表示：用y大或ymax表示y＝f(x)的最大值；用y小或ymin表示y＝f(x)的最小值，而用f(x)|x＝x0表示当x＝x0时y＝f(x)的函数值．
题型一　利用图象求函数最值
【例1】 如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
典例剖析
解：观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3，当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2.
函数的单调增区间为(－1.5,3]，(5,6]，
单调减区间为[－4，－1.5]，(3,5]，(6,7]．
点评：利用函数图象求最值是求函数最值的常用方法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对较为简单的且图象易作出的函数求最值较常用．
题型二　利用单调性求函数最值
(1)求f(x)的最小值；
(2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范围．
点评：运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．另外f(x)>a恒成立，等价于f(x)min>a，f(x)误区解密　因忽略函数的定义域而出错
【例3】 求函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域．
错解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
因为(x－1)2≥0，
所以y＝(x－1)2－1≥－1.
从而知，函数y＝x2－2x的值域为[－1，＋∞)．
错因分析：这里函数的定义域有限制，即－1 ≤x≤2，上述解法只对二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在定义域为实数集时适用．
正解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1,2]．由图象知，
当－1≤x<1时，y随x的增大而减小；
当1≤x≤2时，y随x的增大而增大．
并且当x＝－1时，y取最大值3；
当x＝1时，y取最小值－1.
从而知－1≤y≤3，
即函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域是[－1,3]．
纠错心得：函数的定义域是函数的灵魂，求函数的值域时，首先注意函数的定义域．
题型三　二次函数在给定区间上的最值
【例4】 求函数f(x)＝x2－2ax＋2在[－1,1]上的最小值.
解：函数f(x)图象的对称轴方程为x＝a，且函数图象开口向上，如图所示：
当a>1时，f(x)在[－1,1]上单调递减，
故f(x)min＝f(1)＝3－2a；
当－1≤a≤1时，f(x)在[－1,1]上先减后增，
故f(x)min＝f(a)＝2－a2；
当a<－1时，f(x)在[－1,1]上单调递增，
故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.
综上可知f(x)的最小值为
点评：探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据．
二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系；①定义域区间在对称轴右侧；②定义域区间在对称轴左侧；③定义域区间在对称轴的两侧．
3．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a，b的值．
解：f(x)＝ax2－2ax＋2＋b＝a(x－1)2＋2＋b－a的对称轴方程是x＝1.
(1)当a>0时，f(x)在[2,3]上是增函数．
1．求函数的最值，若能作出函数的图象，由最值的几何意义不难得出．
2．运用函数的单调性求最值是求最值的重要方法，特别是函数图象作不出来时，单调性几乎成为首选方法．
3．探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．
课堂总结