第2课时 函数的最大值、最小值
喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究——
函数的最大值与最小值.
1.理解函数的最大（小）值及其几何意义；(重点）
2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（难点）
观察下列两个函数的图象：
B
探究点1 函数的最大值
【解答】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高点.
思考2 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何?
【解答】 f(x)≤M
思考1 这两个函数图象有何共同特征？
函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义
域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有________；
（2）存在x0∈I，使得_______。
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
请同学们仿此给出函数最小值的定义
f(x)≤M
f(x0)=M
函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值.对于函数f(x)=-x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都有f(x)≤f(0)
函数最大值的“形”的定义：当一个函数的图象有最高点时，我们就说这个函数有最大值.当一个函数的图象无最高点时，我们就说这个函数没有最大值.
观察下列两个函数的图象：
探究点2 函数的最小值
思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标叫什么名称？
提示：函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中的最小值,即函数的最小值.
思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小值？
函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定
义域为I，如果存在实数N满足：
（1）对任意的 ，都有________；
（2）存在 ，使得_______.
那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值.
f(x)≥N
f(x0)=N
函数图象最低点处的函数值的刻画：函数图象在最低点处的函数值是函数在整个定义域上最小的值.对于函数f(x)=x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都有f(x)≥f(0).
最小值的“形”的定义：当一个函数的图象有最低点时，我们就说这个函数有最小值.当一个函数的图象没有最低点时，我们就说这个函数没有最小值.
例4.已知函数 ，求函数的最大
值和最小值。
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1单调性求最值
所以，函数 是区间[2,6]上的减函数.
因此，函数 在区间[2,6]的两个端点上分
别取得最大值与最小值，即在x=2时取得最大值，最
大值是2，在x=6时取得最小值，最小值是0.4.
1．设二次函数f(x)=x2+4x-3，函数值f(2),f(1),
f(-1),f(5)中，最小的一个是( )
A.f(2) B.f(1) C.f(-1) D.f(5)
【解析】由题意知抛物线的对称轴为x=-2，
函数f(x)=x2+4x-3在［-2,+∞)上是增函数，有
f(-1)＜f(1)＜f(2)＜f(5).
C
2. 函数f(x)=x2+4ax+2在区间 (-∞，6]内递减，
则a的取值范围是( )
A.a≥3 B.a≤3
C.a≥-3 D.a≤-3
D
【解析】二次函数的对称轴为x=-2a
故只需-2a ≥6,即a≤-3
3.函数y=x2,x∈［-1，2］的最大值为_______.
【解析】函数y=x2在［-1,0］上为减函数，在［0,2］上为增函数. 当x=-1时，y=1；当x=2时，y=4，所以函数y=x2在x∈［-1,2］上的最大值为4.
4
，
，
.
1.函数的最值是函数在其定义域上的整体性质.
2.根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般的函数要证明这个函数的单调性，若是基本的函数可以直接使用函数的单调性.
3.含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分情况讨论，画出函数的图象有利于问题的解决.