喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究——
函数的最大值与最小值.
1.3.1 单调性与最大（小）值
引入 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了有趣的数据
数据表明，记忆的数量y是时间间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,如图：
100
思考1：当时间间隔t逐渐增大
时，你能看出对应的函数值y
有什么变化趋势？
思考2: “艾宾浩斯记忆遗忘曲线”
从左至右是逐渐下降的，对此，
我们如何用数学观点进行解释？
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1、从左至右图象上升还是下降 ____?
2、在区间 ________上，随着x的增大，f(x)的值随着 ______ ．
f(x) = x
(-∞,+∞)
增大
上升
1、在区间 ____ 上，f(x)的值随着x的增大而 ______．
2、 在区间 _____ 上，f(x)的值随着x的增大而 _____．
f(x) = x2
(-∞,0]
(0,+∞)
增大
减小
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
在某一区间内
当x的增大时，函数值y反而减小
图象在该区间内呈下降趋势；
在某一区间内
当x的增大时，函数值y也增大
图象在该区间内呈上升趋势；
函数的这种性质称为函数的单调性。
函数 f(x)=x2 :
x12
x22
x
0
x1
x2
y
f (x1)
f (x2)
在(0,+∞)上任取 x1、x2 ,
如何用x与 f(x)来描述上升的图象？
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个
称函数 f(x)在这个区间上是增函数。
如何用x与 f(x)来描述下降的图象？
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个
称函数 f(x)在这个区间上是减函数。
1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
注意：
2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1f(x2) 分别是增函数和减函数.
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，
区间D叫做y=f(x)的单调区间.
函数的单调性定义
注意：函数的单调区间是其定义域的子集；
例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？
解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]
其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)上是减函数，在区间[-2,1), [3,5] 上是增函数。
根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函数.
解：函数的单调区间是[-1,0）,[0,2）,[2,4）,[4,5].
在区间[-1,0）,[2,4）上，函数是减函数；
在区间[0,2）,[4,5]上，函数是增函数.
课本P32 3
注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；
在(-∞,0)上是____函数
在(0,+∞)上是____函数
减
减
反比例函数 ：
-2
y
O
x
-1
1
-1
1
2
在(-∞,0)上是____函数
在(0,+∞)上是____函数
减
减
函数 ：
y
O
x
在 (0,+∞) 上任取 x1、 x2
当x1< x2时，都有f(x1) f(x2)
>
y
O
x
-1
1
-1
1
取自变量－1< 1，
而 f(－1) f(1)
<
在(-∞,+∞)是减函数
在(-∞,0)和(0,+∞)是减函数
在(-∞,+∞)是增函数
在(-∞,0)和(0,+∞)是增函数
答案：D
证明函数　　　 在R上是减函数.
例2.利用定义：
判断函数单调性的方法步骤
1 任取x1，x2∈D，且x12 作差f(x1)－f(x2)；
3 变形（通常是因式分解和配方）；
4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
思考？
思考：画出反比例函数f(x)=1/x的图象．P30
1 这个函数的定义域是什么？
2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
证明：函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。
证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1因此 f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。
取值
定号
变形
作差
结论
课本P39 A 3
[全优94页 4] y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．
[全优31页 8]已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)＜f(1－3x)，求x的取值范围．
观察下列两个函数的图象：
B
探究点1 函数的最大值
【解答】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高点.
思考2 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何?
【解答】 f(x)≤M
思考1 这两个函数图象有何共同特征？

最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值
请同学们仿此给出函数最小值的定义
最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．
注意：
1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m与时间t s之间的
关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ，
那么烟花冲出后什么时候是
它的爆裂的最佳时刻？这时
距地面的高度是多少（精确
到1m）
解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.
由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m.
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1由于20,(x1-1)(x2-1)>0,于是
利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值
2. 利用图象求函数的最大(小)值
3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
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