1.3.1单调性与最大（小）值
------函数的单调性
一、引入课题
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相
应函数的哪些变化规律：
问：随x的增大，y的值有什么变化？
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1．f (x) = x
① 从左至右图象上升还是下降______?
②在区间 ____________ 上，随着x的增大，f (x)的值随着 ________ ．
2．f (x) = -2x+1
① 从左至右图象上升还是下降 ______?
②在区间 ____________ 上，随着x的增大，f (x)的值随着 ________ ．
上升
（-∞，+∞）
增大
下降
（-∞，+∞）
减小
3．f (x) = x2
①在区间 ____________ 上，f (x)的值随
着x的增大而 ________ ．
② 在区间 ____________ 上，f (x)的值随
着x的增大而 ________ ．
(-∞,0]
减小
（0，+∞）
增大
二.新课教学
（一）函数单调性定义
那么就说在f(x)这个区间上是单调
减函数，D称为f(x)的单调 减区间.
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
x
设函数y=f(x)的定义域为I,
如果对于属于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1,x2，
设函数y=f(x)的定义域为I,
如果对于属于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1,x2，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，D称为f(x)的单调 增区间.
当x1>
单调区间
注意：
① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；
③函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接说某函数是增函数或减函数。
下列说法是否正确？请画图说明理由。
（1）如果对于区间（0，+∞）上的任意x有f(x)>f(0),则函数在区间（0，+∞）上单调递增。
（2）对于区间（a,b）上的某3个自变量的值
x1,x2,x3,当 时，
有
则函数f(x)在区间（a,b）上单调递增。
2．单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
注意：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；
⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得 ,但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；
⑶几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.
思考1：一次函数 的单调性，单调区间：
思考2：二次函数 的单调性，单调区间：
（二）典型例题
例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.
O
注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；
练习：判断函数 的单调区间。
单调递增区间：
单调递减区间：
证明：
（取值）
（作差）
（下结论）
（定号）
补例
3．证明函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
① 任取x1，x2∈D，且x1② 作差f(x1)－f(x2)；
③ 变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
证明：
f（x1）＜ f（x2）
f（x1）－f（x2）＜0
f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（ 3x2＋2）

＝3（x1－x2）
由x1＜x2，得 x1－x2＜0


设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则
例2 物理学中的玻意定律
(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体积V 减小时,压强 P 将增大.试用函数的单调性证明之.