1.3.1单调性与最大（小）值
------函数的单调性
一、引入课题
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相
应函数的哪些变化规律：
y
x
1
1
-1
y
问：随x的增大，y的值有什么变化？
-1
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1．f (x) = x
① 从左至右图象上升还是下降______?
②在区间 ____________ 上，随着x的增大，f (x)的值随着 ________ ．
2．f (x) = -2x+1
① 从左至右图象上升还是下降 ______?
②在区间 ____________ 上，随着x的增大，f (x)的值随着 ________ ．
上升
（-∞，+∞）
增大
下降
（-∞，+∞）
减小
3．f (x) = x2
①在区间 ____________ 上，f (x)的值随
着x的增大而 ________ ．
② 在区间 ____________ 上，f (x)的值随
着x的增大而 ________ ．
(-∞,0]
减小
（0，+∞）
增大
对区间D内 x1，x2 ，

当x1图象在区间D逐渐上升
？
O
对区间D内 x1，x2 ，

当x1x1
x2
？
D
f(x1)
f(x2)
O
M
N
任意
区间D内随着x的增大，y也增大
图象在区间D逐渐上升
对区间D内 x1，x2 ，

当x1x1
x2
都
f(x1)
f(x2)
O
如果对于区间D上的任意
定义
M
N
任意
两个自变量的值x1,x2，
区间D内随着x的增大，y也增大
图象在区间D逐渐上升
D
那么就说在f(x)这个区间上是单调
减函数，D称为f(x)的单调 减 区间.
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
x
如果对于属于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1,x2，
如果对于属于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1,x2，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，D称为f(x)的单调 区间.
增
当x1>
单调区间
注意：
① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；
③函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接说某函数是增函数或减函数。
下列说法是否正确？请画图说明理由。
（3）如果对于区间（0，+∞）上的任意x有f(x)>f(0),则函数在区间（0，+∞）上单调递增。
（1）对于区间（a,b）上得某3个自变量的x1,x2,x3, 当a< x1f(x2)（2）对于区间（a,b）上有无数个自变量的x1,x2,x3,…,xn, 当a< x12．单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间：
(1)这个单调区间可以是整个定义域
如y=x在定义域上是增函数,y=-x是减函数
(2) 这个单调区间也可以是定义域的真子集
如y=x2在定义域上没有单调性,但在(-∞,0]是减函数,在 [0,+∞)是增函数.
(3)有的函数没有单调性区间
[例1]下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象,根据图象说出y＝f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上, y＝ f(x)是增函数还是减函数.
（二）典型例题
书写单调区间时，注意区间端点的写法。
对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点。

但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点。
单调区间之间必须用“，”隔开，或者用“和”
连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或”，
“且”连接。
例2. 指出下列函数的单调区间：
无单调减区间
k>0
k<0
例2.指出下列函数的单调区间：
解：
的对称轴为
练习：判断函数 的单调区间。
单调递增区间：
单调递减区间：
成果运用
变式1
变式2
变式3
变式4
解：f(x)的开头方向向上，对称轴是x=a，
（1）当a≤-2时，f(x)在(-2,2)单调递增；
（2）当-2但是f(x)在（-2,a）单调递减，在(a,2)单调递增；
（3）当a>2时，f(x)在(-2,2)单调递减。
变式5
讨论函数f(x)=x2-2x+3在区间(a,a+3)上的单调性。
例3. 指出下列函数的单调区间：
思考1：
没有单调增区间
证明：函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。
证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，
且x1因此 f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。
取值
定号
变形
作差
下结论
3．证明函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的
一般步骤：
① 任取x1，x2∈D，且x1② 作差f(x1)－f(x2)；
③ 变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1由V1，V2∈ (0，+∞)得V1V2>0, 由V10
取值
定号
结论
☞判断函数 在区间(0,1)上的单调性.
解:设
则 f(x1)－f(x2)
∵0＜x1＜x2＜1,
∴1+x1x2＞0,x2－x1＞0,
∴ f(x1)－f(x2)＞0 .
即 f(x1)＞f(x2) .
故此函数在(0,1)上是减函数.
4.判断函数f(x)=－x3+1在(－∞,+∞)上是增函数还是减函数，并用定义证明你的结论.
所以f(x)在(－∞,0)上是减函数
例：已知函数f(x)是定义在（-∞，+∞）上的单调增函数， 解不等式 f (2x) < f (1+x)
例5
变式
例：已知函数f(x)是定义在（-1，1）上的单调
增函数， 解不等式 f (2x) < f (1+x)
练习
1.已知函数f(x)是定义在[-1,2)上的增函数，
若f(a-1)>f(1-3a)，求实数a的取值范围。
变式
思考与讨论
f(x)和g(x)都是区间D上的单调函数，
那么f(x)和g(x)四则运算后在该区间
D内还具备单调性吗？情况如何？
你能证明吗？能举例吗？
1.若f(x)为增函数，g(x)为增函数，
则F(x)=f(x)+g(x)为增函数。
2.若f(x)为减函数，g(x)为减函数，
则F(x)=f(x)+g(x)为减函数。
3.若f(x)为增函数，g(x)为减函数，
则F(x)=f(x)-g(x)为增函数。
4.若f(x)为减函数，g(x)为增函数，
则F(x)=f(x)-g(x)为减函数。
证明抽象函数的单调性
三、归纳小结
1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数
的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
2.直接利用初等函数的单调区间。
区间是
提高性练习
1.3.1单调性与最大（小）值
------函数的最大（小）值
下列两个函数的图象：
f(x) ≤ M
ƒ(0)=1
2、存在0，使得ƒ(0)=1.
1是此函数的最大值
知识要点
M是函数y= f (x)的最大值（maximum value）：
2.函数最大（小）值应该是所有函数值中
最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有
f(x)≤M（f (x)≥M）．
注 意：
1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值， 即存在x0∈I，使得f (x0) = M；
3.最大值和最小值统称为最值。
判断以下说法是否正确。
2.设函数f (x)=1-x2，则f (x) ≤2成立吗? f(x)的最 大值是2吗？为什么？
如果函数f(x)的最大值是b，最小值是a，那么函数f(x)的值域是[a，b]吗？
函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值.
如果在函数f(x)定义域内存在x1和 x2，使对定义域内任意x都有 成立，由此你能得到什么结论？
思考1
思考2
探究:函数单调性与函数的最值的关系
（1）若函数y=f (x)在区间[m，n] (mO
x
y
当x=m时，f (x)有最小值f (m)，当x=n时,f (x)有最大值f (n).
(2)若函数y=f(x)在区间[m，n]上单调递减，则函数y=f(x)的最值是什么？
O
x
y
当x=m时，f (x)有最大值f (m)，当x=n时，f(x)有最小值f (n).
O
x
y
最大值f (l)=h，有最小值f (m), f (n)中较小者.
例3 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m与时间t s之间的
关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ，
那么烟花冲出后什么时候是
它的爆裂的最佳时刻？这时
距地面的高度是多少（精确
到1m）
解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.
由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m.
例3 求函数 在区间[2，6]上的最大值和最小值．
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1由于20,(x1-1)
(x2-1)>0,于是
因此,函数 在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4 .
（二）判断函数的最大(小)值的方法
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值
2. 利用图象求函数的最大(小)值
3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
例3 写出函数 的单调区间，并求出最值。
例4 已知二次函数
（1）当 时，求 的最值。
（2）当 时，求 的最值。
例5 已知函数 f (x)=x2-2ax-1
(1)当a=1时，求f(x)在区间[2,4]上的最值。
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最小值。
(3)求f(x)在区间[0,2]上的最大值。
例6 求下列函数的最小值
提示：
（1）
将f(x)变形
用定义法证明
f(x)的单调性
求f(x)的
最小值
（2）
f(x)
求f(x)的
对称轴
讨论对称轴
与所给区间
的位置关系
结论
设f(x)是定义在R上的函数，对m,n∈R恒有
f(m+n)=f(m)f(n)，且当x>0时，0（1）求证: f (0)=1
(2) 求证：x∈R时恒有 f (x)>0
(3) 求证：f (x)在R上是减函数。
提高练习